函數與方程思想應用“三個要”

一、限制條件要等價轉換

例1已知實數a>b>c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b，a2+b2的取值范圍.

錯解1: 將a+b與a2+b2分別看做關于c的函數(a+b=1-c，a2+b2=1-c2)，則只需求出c的取值范圍，也即函數的定義域，即能得到兩者的取值范圍.由2(a2+b2)≥(a+b)2，可得2(1-c2)≥(1-c)2，解得-≤c≤1. ∴ a+b=1-c∈0，，a2+b2=1-c2∈[0，1].

錯解2: 將a=1-c-b代入a2+b2+c2=1，整理得b2+(c-1)b+c2-c=0. ∵ b存在，∴ Δ=(c-1)2-4(c2-c)≥0，解得-≤c≤1. 之后同錯解1.

【剖析與糾正】 以上兩種錯解的解題思路其實是一樣的，應該說也是正確的，即利用函數與方程思想，把a+b與a2+b2均看做關于c的函數，先求出定義域(即c的取值范圍)，再分別求出兩個函數的值域.但是在求解定義域時，兩種錯解都忽視了條件“a>b>c”，由此求得的-≤c≤1實際上并不是符合條件的c的取值范圍.

其實，由錯解2不難發現，a，b為方程x2+(c-1)x+c2-c=0的兩個實根，考慮到a>b>c，則條件即等價于“a，b是函數f(x)=x2+(c-1)x+c2-c在(c，+∞)內的兩個零點”，由此可得以下解法.

∵ a，b是方程x2+(c-1)x+c2-c=0在(c，+∞)內的兩個不等實根，∴ Δ=(c-1)2-4(c2-c)>0，>c，f(c)=3c2-2c>0，解得-

二、變量關系要明確

例2已知A(3，1)，P(4，4)，Q(x，y)為橢圓+=1上的一個動點，試求#8226;的取值范圍.

錯解: #8226;=(1，3)#8226;(x-3，y-1)=x+3y-6，∵ Q(x，y)在橢圓+=1上，∴ x∈[-3，3]，y∈[-，]，∴ x+3y∈[-6，6]，故#8226;的取值范圍是[-6-6，6-6].

【剖析與糾正】 錯解將#8226;的值視為關于x，y兩個變量的函數，這是沒錯的. 但是x，y之間存在制約關系+=1，錯解將它們視為兩個獨立的變量來求取值范圍，這就不對了.

實際上我們可將“x+3y”作為一個整體看待，將其視作自變量，于是 #8226;的值即為關于“x+3y”的函數.

解法1: 設t=x+3y，利用柯西不等式，由18=x2+(3y)2得36=[x2+(3y)2]#8226;(12+12)≥(x+3y)2=t2，∴ -6≤t≤6 (當且僅當x=3y=-3及x=3y=3時，分別取到左右兩個等號). 于是#8226;=t-6的取值范圍為[-12，0].

解法2: 設Q(3cosθ，sinθ) ，則#8226;=(1，3)#8226;(3cosθ-3，sinθ-1)=3cosθ+3sinθ-6=6sinθ+-6∈[-12，0] (θ∈R).

三、 轉化思路要理順

例3設m>1，若t∈R，使得對x∈[1，m]，不等式(x+t+1)2≤x恒成立，求實數m的取值范圍.

錯解: 設f(x)=(x+t+1)2-x，由m>1，且對x∈[1，m]，不等式(x+t+1)2≤x恒成立，有f(1)≤0，f(m)≤0. 由f(1)≤0可得-3≤t≤-1;然而由f(m)≤0卻無法求出m的取值范圍，導致解題思路中斷.

【剖析……