第七招:草船借箭

乍看不起眼的“運(yùn)算”是不少同學(xué)的“弱項(xiàng)”，運(yùn)算錯(cuò)誤則是試卷上的“硬傷”.多年解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們:運(yùn)算的基本要求是“算則對(duì)”，發(fā)展要求是“少算且對(duì)”，最高境界是“不算而對(duì)”.如何在“算對(duì)”的基礎(chǔ)上“少算”甚至“不算”?且看“算對(duì)有招”之——

《推理與證明》單獨(dú)成章進(jìn)入新教材后，類比推理題成了近年高考命題的熱點(diǎn)與亮點(diǎn). 碰到類比題，我們的“招數(shù)”是剖析范例的本質(zhì)，汲取其中的“營(yíng)養(yǎng)”并將其移植到未知問(wèn)題的推理上——是謂“草船借箭”.

例1如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)△ABC的頂點(diǎn)分別為A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，點(diǎn)P(0，p)為線段OA上一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，a，b，c，p均為非零常數(shù).設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn).某同學(xué)已正確求得直線OE的方程:-x+-y=0.請(qǐng)你完成直線OF的方程:()x+-y=0.

常規(guī)解法: 易知直線CP的斜率為-，由點(diǎn)斜式可得其方程為y=-#8226;x+p(①).由截距式可得直線AB的方程為+=1 (②).聯(lián)立①②，消去y，可求得交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)xF==;代入①式，得yF=-#8226;+p=. ∴ 直線OF的斜率k==，直線OF的方程為y=x. 化簡(jiǎn)得:-x+-y=0，故空格處應(yīng)填的式子為-.

“草船借箭”: 點(diǎn)E，F(xiàn)形成的過(guò)程類似——直線BP，CP分別與邊AC，AB的交點(diǎn)，“借”此估計(jì)直線OF與直線OE的方程應(yīng)該類似，這從它們的方程中y前面的系數(shù)相同也可以得到佐證.由此推測(cè)直線方程中x的系數(shù)也應(yīng)相似，形式可能是-.出于這個(gè)考慮，干脆把直線CP的方程化為+=1 (③)，③-②即可得到類似直線OE方程的形式:-x+-y=0 (④).我們發(fā)現(xiàn)(0，0)滿足④式，故該直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O;又F為直線CP與AB的交點(diǎn)，故F必滿足④式，因此④式即為直線OF的方程!故空格處應(yīng)填入-.

評(píng)析: 常規(guī)解法沒(méi)有充分發(fā)揮直線OE方程的“榜樣”作用，而是“另起爐灶”，運(yùn)算煩雜冗長(zhǎng)……