線性規劃中的四個易錯點

一、混淆動直線的截距與所求最值間的對應關系

例1已知實數x，y滿足y≤2x，y≥-2x，x≤3，則目標函數z=x-2y的最小值是.

錯解:題中的可行域如圖1的陰影部分所示，其中O為坐標原點，A(3，6)，B(3，-6).

先作出動直線l:z=x-2y過原點時的情形，如圖中的虛線l0所示. 由圖1可知，當l過點B時，z取到最小值zmin=3-2×(-6)=15.

【剖析與糾正】 動直線l的方程為:y=-，該直線的截距為-，故當動直線截距取到最大值時，對應目標函數z才取到最小值. 顯然，當l過點A時，其截距最大，∴ zmin=3-2×6=-9.

點評: 理所當然地把目標函數“z”跟“截距”畫上等號是大錯特錯的. 一般地，若目標函數為z=ax+by (b≠0)，則動直線l的方程為:y=-+，才是動直線在y軸上的截距. 由此可見，當b>0時，目標函數z取到最大(最小)值等同于截距取到最大(最小)值;當b<0時，目標函數z取到最大(最小)值的情況與截距的取值情況正好相反. 本題中y前面的系數為-2，故屬于后一情形.

這一錯解告訴我們，先將目標函數改寫為動直線的斜截式方程，再從中確定目標函數值與動直線截距間的對應關系，是準確求解線性規劃問題的第一步.

二、無視動直線與可行域邊界直線間的相對傾斜程度

例2若實數x，y滿足x+y≥2，2x-y≤4，x-y≥0，則2x+3y的最小值是.

錯解: 可行域如圖2陰影部分所示，其中A(2，0)，B(1，1)，C(4，4).設z=2x+3y，則動直線l:y=-x+過原點時的位置為l0，平移l，由圖2可知，當l過點B時有zmin=2+3=5.

【剖析與糾正】 錯解無視動直線l與可行域邊界直線AB間的相對傾斜程度，草率作出了l0的圖象，從而導致了錯解. ∵ kl=->kAB=

-1，由斜率的幾何意義可知，l的“陡峭”程度要小于AB，故l過原點時的位置應如圖中的l1所示. 由此可知，當l過A點時z取到最小……