第九招:乘勝追擊

乍看不起眼的“運(yùn)算”是不少同學(xué)的“弱項(xiàng)”，運(yùn)算錯誤則是試卷上的“硬傷”.多年解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們:運(yùn)算的基本要求是“算則對”，發(fā)展要求是“少算且對”，最高境界是“不算而對”.如何在“算對”的基礎(chǔ)上“少算”甚至“不算”?且看“算對有招”之——

采用慣常的方法雖然可以解決問題，但若計算煩瑣，仍然容易出錯. 因此我們應(yīng)在掌握常規(guī)解法的基礎(chǔ)上，尋找更優(yōu)化的方法——是謂“乘勝追擊”.

例1如圖1所示，過點(diǎn)T(3，0)的直線l與拋物線y2=2x交于A，B兩點(diǎn)，求證:#8226;=3.

常規(guī)解法: 當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x=3. 此時l與拋物線交于點(diǎn)A(3，)，B(3，-)，滿足#8226;=3.

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k(x-3)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 聯(lián)立y2=2x，y=k(x-3)得k2x2-(6k2+2)x+9k2=0. 若k=0，則x=0，l與拋物線僅有一個交點(diǎn)，顯然不符合題意，故k≠0. ∴ x1+x2=，x1#8226;x2=9， y1#8226;y2=k2(x1-3)#8226;(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9]=-6， ∴ #8226;=x1x2+y1y2=3.

綜上可知，原命題得證.

“乘勝追擊”: 若l的斜率為0，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，即原點(diǎn)O，∴ l的斜率不為0，可設(shè)l的方程為x=my+3(m=0即l的斜率不存在). 聯(lián)立y2=2x，x=my+3得y2-2my-6=0， ∴ y1y2=-6;又x1x2=#8226;=(y1y2)2=9， ∴ #8226;=x1x2+y1y2=3.

評析: 兩種方法雖“殊途”但“同歸”，解題思路的本質(zhì)是一樣的——都利用了韋達(dá)定理，但計算的繁簡相差懸殊.由此可見，即使解題方向、步驟不變，我們?nèi)杂锌赡苷业礁侠怼⒏啙嵉倪\(yùn)算路徑.一般地，涉及到直線過定點(diǎn)的問題，若已知點(diǎn)在y軸上，可設(shè)直線為y=kx+b;若已知點(diǎn)在x軸上，則設(shè)為x=my+t 的形式較好.

例2如圖2所示，在邊長為1的正方形OABC中，D是線段AB上不同于A，B的任意一點(diǎn)，E是直線OD與AC的交點(diǎn). 求證:#8226;<1.

“乘勝追擊”: 作AF⊥OD于F，則#8226;<#8226;. 根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，可以把看做向量在OD上的投影，則#8226;=#8226;;而又可看成是向量在x軸上的投影， ∴ #8226;=#8226;=2=1，故#8226;<#8226;=1.

評析: 本題的常規(guī)解法是把向量“坐標(biāo)……