把握應用題教學脈絡降低應用題教學難度

一、 問題的提出

小學六年級數學的數與代數領域的核心內容為分數(百分數)乘除法應用題。由于百分數應用題可以相應地轉化為分數應用題，其解題思路是一致的，因而分數乘除法應用題的教學就成了重中之重。

解答分數乘除法應用題，一般有以下步驟:第一，讀題并找出單位“1”的量;第二，找出題目中的等量關系;第三，列式或列方程計算;第四，檢驗并寫出答語。在教學中我們會強調找準單位“1”的量、分析數量關系的重要性，并明確當單位“1”已知時，用單位“1”的量×對應分率=要求的比較量，而當單位“1”未知時，用比較量÷對應分率=單位“1”的量(或列方程解答)。

雖然經過大量的分析和計算訓練，但是學生仍然會經常出錯。對他們來說，小學階段的應用題中，最難以理解和掌握的就是分數乘除法應用題，因為這類應用題的分析、解答方法與以前所學應用題截然不同，因而難以接受，在解題時只能憑借“感覺”去猜測。究其原因，還是解答分數乘除法應用題時“不得要領”，沒有完全理解。

面對這種情況，怎樣才能幫助學生更好地理解并熟練掌握分數乘除法應用題的分析、解答方法，從而化解小學階段應用題教學中的最大一塊“頑石”呢?

二、 追根求源

小學階段應用題中所涉及到的各種數量關系，究其根源，都可以歸結為差比關系和商比關系這兩大類，其中差比關系包括兩個數量之間相比較的相差關系和整體與部分之間的部總關系，涉及到加減法運算，其應用題形式表現為加減法應用題;而商比關系包括兩個數量之間相比較的倍數關系和總量與每份量之間的份總關系，涉及乘除法運算，其應用題形式表現為乘除法應用題。

如果從應用題中所涉及到的數的范圍來看，小學階段的應用題又可分為整數應用題、小數應用題、分數和百分數應用題。

小學一二年級就開始全面學習整數應用題，幫助學生分析、理解并熟練解答相應的差比關系和商比關系應用題，而三四年級則將整數應用題的練習進一步強化。至此，學生對整數應用題中的差比和商比關系已形成了一個完整的解題思路，建構起一整套知識體系。

到了五年級第一學期，學習了小數四則運算之后，教材中并沒有正式出現相應的小數應用題的例題，而是把這些小數應用題放在練習題中由學生獨立解答。由于小數應用題與整數應用題的數量關系完全一致，而只是數的范圍由整數擴展到了小數，學生完全可以憑借原先掌握的解答整數應用題的方法，輕松地完成小數應用題，所以這類應用題對他們來說沒有任何困難。

在五年級第二學期學習了分數加減法后，教材中隨即出現了相應的差比關系的分數應用題，對于這些題目同樣無需教師著力講解，可以放手讓學生獨立解答，同樣也不存在任何困難。

然而到六年級學習商比關系的分數應用題時，情況卻有了很大的變化。比如教材中有以下四道例題(例題的順序已作調整):

例1:做一朵綢花用米綢帶，小芳做3朵這樣的綢花，一共用幾分之幾米綢帶?

例2:4米綢帶，每米剪一段，可以剪成多少段?

例3:黃花有50朵，紅花比黃花多，紅花比黃花多多少朵?

例4:小瓶果汁有600毫升，小瓶里的果汁是大瓶的，大瓶果汁有多少毫升?

對于上面的例1和例2，教材一般通過應用題引出分數乘除法的計算教學，而應用題的分析、理解則沒有任何難度。而對于例3和例4這類涉及到“分率”和單位“1”的分數應用題，就需要教師重點講解應用題的分析方法，通過線段圖幫助理解。盡管如此，學生在理解上還是存在相當大的困難，分析理解時錯誤時有發生。同樣是商比關系的分數應用題，差別為何如此之大?

教育心理學的同化理論告訴我們，學生在學習新知識識時，如果其原有認知結構中有相應的舊知識能與所學的新知識發生聯系，就能很快地把新知識納入到原有的認知結構中去，從而理解、掌握新知識;如果在原有的認知結構中找不到可以同化新知識的“生長點”，那么理解、掌握新知識將會比較困難。

對于差比關系的應用題，在教學中并沒有依據數據的范圍來進行分析，也就是說不管是整數、小數還是分數，其分析、解答方法都是一樣的。因此，學生容易從整數應用題順利地遷移到小數和分數應用題中，而沒有任何困難。

但是對于商比關系的應用題，就截然不同了。當商比是整數、小數時，即為一般的倍數關系應用題(如上面的例1和例2中的商比都是整數，因而它們的分析方法與整數、小數中的倍數關系應用題是一樣的，所以沒有什么困難);而當商比是分數時，就是特殊的分數乘除法應用題(如上面的例3和例4)，它的分析方法與倍數關系應用題有很大差別，因而不能順利地產生遷移，進行新知識同化，造成理解上的困難。

由此看來，分數乘除法應用題之所以難教、難學，主要是因為知識體系的前后脫節，而要想從根本上解決這個問題，就必須統一商比關系應用題。

三、 統一乘法算式的含義

商比關系應用題的不統一，其根源在于一直以來形成的乘法算式含義的多樣化。盡管新教材中已經刪除了理解乘法算式含義的教學要求，但它對應用題的分析、理解仍然存在著不可避免的影響。因此，統一商比關系應用題，就需要從統一乘法算式的含義入手。

對于四則運算的含義，加法、減法和除法都不受數據范圍的影響，算式的含義都是一致的，而只有乘法算式最為特殊，對于不同的數據范圍有著不同的具體含義，甚至在新的課程標準實施之前，乘法算式的含義及其獨特性還一直是試卷上的“?？汀薄?/p>

對于整數乘法而言，算式表示“求幾個相同加數的和的簡便運算”，如15×4表示“求4個15相加的和是多少”;當乘數是大于1的小數時，算式表示“求一個數的多少倍”，如15×1.4表示“15的1.4倍”;當乘數是小于1的小數時，要說成“求一個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少”，如15×0.14表示“15的百分之十四”;而當乘數是分數時，則要說成“求一個數的幾分之幾是多少”，如15×表示“15的三分之二”。

乘法算式含義的多樣化，讓學生無以應對。其實要說含義多樣化，除法一點也不遜色。比如45÷15表示“求45里有幾個15”，40÷15表示“求40是15的多少倍”，10÷15表示“求10是15的幾分之幾”，而10÷則又表示“求什么數的是10”。對于這些具體的含義，我們都不需要加以考慮，而只是簡單的說成“已知兩個數的積是……，和其中一個數……，求另一個數是多少”。

因此，對于乘法算式，我們也不妨統一說成是“求一個數的幾倍”，而不必考慮這兒的倍數是整數、小數還是分數。如前面幾個乘法算式可相應地說成“15的4倍”、“15的1.4倍”、“15的0.14倍”和“15的倍”。

盡管這種改變與我們的傳統習慣相沖突，可能一時還難以接受，但是如此一來，就可以避開算式和數據之間的具體差別，而把它們緊緊地統一在一個相同的關系之中，四則運算的含義也就全部保持一致，乘法算式也就不會因其含義的不一致而產生出種種麻煩來了。

四、 統一商比關系應用題

1.統一商比關系

在乘除法應用題中，兩個數量或整體與部分之間的比值(或商)稱作是商比，當商比是整數、小數時，即為一般所稱的倍數;當商比是分數時，即為分率。為了增強乘除法應用題的內聚性，突出它們之間的聯系，我們不妨把這里的商比統一稱作“比率”。

這樣一來，整數、小數乘除法應用題中的“一倍量、幾倍量與倍數”和分數乘除法應用題中的“單位‘1’、比較量與分率”都可以統一在“標準量、比較量與比率”這三者的關系之中，從而增強它們之間的聯系，明確分數乘除法應用題的“生長點”。

2.重新分析倍數關系應用題

統一后的乘除法應用題，其起始部分為倍數關系應用題，我們要注意打好學生這部分的基礎，做好教學上的銜接工作，為后續內容的學習做好準備。

例如，有這樣一道例題:“飼養組養了12只小雞，3只小鴨。小雞的只數是小鴨的幾倍?”教材上的提示為:“想:12里面有幾個3，小雞的只數就是小鴨的幾倍”，教師在課堂上也是這樣引導的。通過這樣的提示，學生就能明白為什么要用12÷3。

這樣的教學安排，只局限于教會學生解答倍數關系應用題，由于忽略了標準量的分析，割裂了與分數乘除法應用題之間的聯系，無形中加大了后續學習的難度。況且，僅從倍數關系本身考慮，而不引導學生分析標準量，不利于數學辨證思想的培養，不能很好地認識事物與數量之間的相對性。

如果例題中增加一個條件——“小鵝有6只”，這時，小雞的只數為小鵝的2倍。小雞的數量沒有變，為什么倍數在變?學生很難準確回答。因為學生并沒有很好地認識到，在兩次比的過程中，雖然小雞的數量沒變，但比的標準變了，因而倍數也會跟著改變。

在倍數關系應用題中，確定標準量是非常重要的，教學時應特別注重標準量的分析。當學生初步認識了“倍”之后，就要引導他們思考題目中是哪兩個量在比?以什么量為標準?是誰在和這個標準量比?通過分析，讓學生明白:當小雞的只數與小鴨的只數在比時，以小鴨的只數為標準，把小鴨的只數當作一個整體，作為一份的量。這樣，求小雞的只數是小鴨的幾倍，就是求小雞的只數中有幾個這樣的一份，即有幾個3只。

這樣教學，學生就完全抓住了問題的關鍵，即先找標準量和比較量，當比較量或標準量發生改變而引起倍數的改變時，學生就能說出其中的理由了。這種教法正好與分數乘除法應用題的分析方法銜接起來，突出了對標準量和比較量的分析，分散了后續學習的難點。

3.改革分數乘除法應用題教學

當我們統一了乘法算式的含義、調整了倍數關系應用題的教學策略之后，分數乘除法應用題與整數、小數乘除法應用題之間原本存在的“鴻溝”將不復存在。因為分數應用題中分析標準量、比較量與比率關系的方法，已在倍數關系應用題中打下了基礎，理解起來不會有太大的難度。

在分數乘除法應用題的題目呈現時，都統一在分率后面添上一個“倍”字，雖然只是一字之差，但卻真正使分數乘除法應用題融入到商比關系應用題的完整體系中，不再顯現出算式含義的特殊性與應用題分析、理解、解答方法的特殊性。相反，學生可以從原有倍數關系應用題的分析方法上，順利地遷移到分數乘除法應用題中，既增強了知識體系的前后連貫性，又幫助學生降低了學習難度，有效地同化了新知識。

例如，在教學“求一個數是另一個數的幾分之幾”的應用題時，可以這樣引入:“雞50只，鴨10只，雞的只數是鴨的多少倍?”然后把鴨的只數依次改為20、30，并最后出示“雞50只，鴨60只，雞的只數是鴨的幾分之幾倍?”逐步讓學生發現，求一個數是另一個數的幾分之幾，其實與求一個數是另一個數的多少倍是一樣的，分析時都要先確定標準量和比較量，這樣學生便能順利掌握。

對于要求比較量的應用題，如:“紅花有120朵，白花的朵數是紅花的，白花有多少朵?”如果改成:“紅花有120朵，白花的朵數是紅花的倍，白花有多少朵?”學生便能方便地知道是求“120朵的倍是多少”，聯系倍數關系應用題中求幾倍量的方法，根據“比較量=標準量×比率”而順利列出算式“120×”，無需教師過多地講解或是借助線段圖來幫助分析。

對于要求單位“1”的題目，如前面的例4，教材通過對線段圖進行分析，考慮到題目是逆敘述的，學生直接用算術方法解答比較困難，便引導根據關系式“單位‘1’×分率=比較量”而列出方程解答。同樣是逆敘述，倍數關系應用題中要求一倍量時，根本無需列方程解答，而只需要用“幾倍量÷倍數=一倍量”直接列算式即可。因此教材中列方程求單位“1”的解答方法，實則是人為地增加了分數乘除法應用題的難度，生生割裂了應用題之間的前后聯系。如果把例4改為:“小瓶果汁有600毫升，小瓶里的果汁是大瓶的倍，大瓶果汁有多少毫升?”那么根據題意可知“大瓶果汁體積的倍是600毫升”，因此“大瓶果汁的體積”是標準量，“600毫升”是比較量，而“倍”則是比率。根據關系式“比較量÷比率=標準量”，類似于倍數關系應用題中求一倍量的方法，就可以列出算式“600÷”，根本無需借助方程來幫助思考并解答。

對于較復雜的分數乘除法應用題，我們同樣可以把單位“1”的量視為標準量(一倍量)，在分率后面添上“倍”字變成比率(倍數)，從相應的整數、小數應用題引入，就能降低難度，達到較好的教學效果。比如:“學校有足球65個，比籃球的個數多，籃球有多少個?”這類題目在解答時，不僅要求學生判斷單位“1”的量是已知還是未知(確定用乘法解答還是用除法或方程解答)，還要判斷題目中的分率是多還是少(確定分率是用加法還是減法計算)，學生一不小心就容易做錯。

聯想到倍數關系應用題中的類似問題:“白兔有60只，比灰兔的只數多2倍，灰兔有多少只?”根據“白兔比灰兔多2倍”，可以知道白兔的只數是灰兔的1+2=3倍，灰兔的只數是一倍量，因而用除法解答:60÷(1+2)。

那么類似的，如果把剛才這道學生容易做錯的分數應用題改為:“學校有足球65個，比籃球的個數多倍，籃球有多少個?”學生就可以根據“足球比籃球多倍”這個條件，知道足球的個數相當于籃球的1+=倍，也就是說籃球個數的倍是65只，籃球個數是標準量，用除法來解答:65÷(1+)。這樣，學生就能很好地理解并解答這些較復雜的分數應用題。

上面我們詳細分析了分數乘除法應用題難教難學的癥結所在，并嘗試著在教學中進行應用題的整合處理，提出了一整套教學改革措施。相信經過我們的努力，分數乘除法應用題將不再成為學生學習過程中的一大障礙，而僅僅是隨著數的范圍擴展在應用題領域的一個普通遷移而已。