淺析數學中的和諧美

英國著名數學家G·H·哈代(Hardy，1877-1947年)曾經說過:“現在也許難以找到一個受過教育的人，對于數學美的魅力全然無動于衷。”那么，數學美的魅力究竟在哪里呢?這是一個令人神往但又使人感到迷惑的問題。數學散發著無窮的魅力，數學是自然科學，數學作為“書寫宇宙的文字”(伽利略語)反映著自然，美是自然，數學中當然存在著美。不少人對數學有一定的偏見，認為數學比較枯燥、單調乏味，這是一種誤解，原因就在于數學美難以被人們所感受與認識。實質上數學中有多種美的體現，比如數學中有和諧美、簡潔美、對稱美、奇異美、抽象美、含蓄美、協調美、形式美、精確美、模糊美等，在此淺談一下數學中的和諧美。

數學中的和諧美不僅體現在其知識體系的和諧統一，相當一部分的數學運算過程也能讓我們充分領略到數學獨特的和諧美。

在奇妙的數學王國里，黃金分割律無疑是和諧美的典范。黃金分割律，也叫“黃金比”:即用C點分割線段，使整體AB與較大部分BC之比，等于較大部分BC與較小部分AC之比(如圖1)，這個比值是1.618:1或1:0.618。

黃金分割律確實是一個奇妙的規律，只要符合這個分割的物體和幾何圖形，都使人感到和諧、悅目。再看下面幾種黃金圖形:

黃金矩形:寬與長之比為黃金數的矩形叫黃金矩形。對黃金矩形依次舍去所做的正方形，可得到不斷縮小的黃金矩形序列。(如圖2)

黃金三角形:分兩類，第一類是底與腰之比為黃金數的三角形。如圖3中的 ， ， ，……組成不斷縮小的三角形序列;第二類是腰與底之比是黃金數的三角形，如圖4中的，，，……也組成不斷縮小的黃金三角形序列。

黃金橢圓:短軸與長軸之比為黃金數的橢圓(如圖5)，它的面積與以它的焦距為直徑的圓的面積相等;它的離心率的平方也是黃金數。

黃金雙曲線:實半軸與半焦距之比為黃金數的雙曲線(如圖6)，它的離心率的倒數也是黃金數。

這些黃金圖形不僅有一些很奇妙的性質，而且看起來賞心悅目，是同類圖形中最和諧、優美的圖形。這類圖形在生活中也隨處可見，比如墻上的掛歷就是黃金矩形。

數學的嚴謹自然流露出它的和諧。數學的和諧不僅僅表現在其嚴謹或形式結構的無矛盾性，還表現在它能為自然界的和諧、生命現象的和諧、人自身的和諧等得到最佳論證。

還有一類被稱作黃金數列的數列菲波納斯數列，該數列不僅體現了數學中的和諧，也反映了自然的和諧。科學家發現自然界中有很多有趣的現象都與菲波納斯數列有關。

所謂菲波納斯數列就是:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……這串數列的特點是:其中任一個數都是前面兩個數之和。

一般有

一些學者認為自然界中的花朵的花瓣數目也是符合菲波納斯數列的。也即是說在大多數情況下，一朵花花瓣的數目都是3，5，8，13，21，34， ……有趣的是曾經有一位學者耐心地數過一朵重芍藥花的花瓣，驚奇地發現它有233個花瓣，正好與這個數相一致。另一個學者也數過一個花朵，它剛好是157瓣。但他又發現，其中有13瓣和其它144瓣有顯著差異，它們是特別長，并卷曲向內。這種情況表明這朵花的花瓣數目是由和合成的。

在菲波納斯數列中，前后兩項的比值，就是以黃金數為極限的，即:

因此，這個數列又稱為黃金數列。

數學美實質上是一種純粹的抽象美感，但它并不是以空的形態出現，它有附體，有內容，正如舞蹈離不開動作，音樂離不開節奏、旋律，數學美離不開由客觀物質抽象出的量和空間形式。我們應在數學學習過程及生活中多注意觀察發現數學美的體現。

(作者單位:四川省古藺中學)