一個不等式的證明及其在09年高考壓軸題中的應用

在歷年的高考題中，我們經常可以看到很多高考題的命題具有一定的背景知識，如由高等數學知識、數學競賽題、經典數學問題經簡化、推廣、變形等形成的高考

題。這里就不等式

的證明及其在09年高考題中的應用進行探究。

一、不等式n∈N+，

的證明:

證法一:(構造相關式)

令

易知T1>T>T2 且T·T1=2n+1，T·T2=n+1，即有n+1=T·T2

證法二:(數學歸納法)

先證成立:

①當n=1時，左式= =右式，結論成立。

②假設n=k時結論成立，即有

要證n=k+1時結論成立，只需證

即證成立，也即證4k2+12k+8<4k2+12k+9 顯然成立。所以當n=k+1時，結論成立。

由①②可知，n∈N+時，

成立。

再證成立:

①當n=1時，左式==右式，結論成立。

②假設n=k時結論成立，即有，則當n=k+1時，

，要證n=k+1時結論成立，只需證

即證成立，也即證

4k2+8k+3<4k2+8k+4顯然成立。所以，當n=k+1時，結論成立。

由①②可知，n∈N+時，

成立。

綜上所述，n∈N+時，

成立。

證法三:(不等式)

先證成立:

所以，n∈N+時， 成立。

再證 成立:

令 ，則由

分析:由第一問可得an=2n-1，因此bn=2n(n∈N+)，所以不等式

即為

由 式知其顯然成立。的“背景”知識，如果在了解不等式n∈N+)