例談在高一函數(shù)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)

【內(nèi)容摘要】逆向思維是相對于習(xí)慣性思維的另一種思維方式，是創(chuàng)造性思維的一個重要組成部分。在新課標(biāo)高一函數(shù)教學(xué)中可以從概念的教學(xué)、性質(zhì)、公式的逆用以及題解的教學(xué)等方面培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)教學(xué)逆向思維

逆向思維是相對于習(xí)慣性思維的另一種思維方式。它的基本特點(diǎn)是:從已有思路的反方向去思考、分析問題。表現(xiàn)為逆用定義、定理、公式、法則;逆向進(jìn)行推理;反向進(jìn)行證明，即直接解決較困難時考慮間接解決;從反方向形成新結(jié)論，即探討可能性或合理性存在邏輯困難時探討新的可能性等。逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性與反聯(lián)結(jié)性，它有利于克服思維定勢的保守性。

在新課標(biāo)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與發(fā)展創(chuàng)新意識是高中數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，而逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一種重要形式。但是，教科書中的概念、定理、法則、公式以及性質(zhì)等，在編寫中大都采用正向思維，如果教師教學(xué)時也只采用正向推理，這樣的信息易使學(xué)生形成單一的思維習(xí)慣，這種單向思維造就出來的學(xué)生一旦正向思維受阻，難以自覺地轉(zhuǎn)入逆向思維。學(xué)習(xí)一個新概念、新方法、解決一個新問題的過程中不自覺地抑制掩蓋了另一個過程，致使正向思維的慣性在一定程度上影響了逆向思維的建立，進(jìn)而直接影響著學(xué)生分析問題、解決問題能力的提高。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)自覺地、有目的地加強(qiáng)學(xué)生逆向思維能力的訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使學(xué)生正向、逆向思維同步發(fā)展。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維呢?下面就高一函數(shù)的教學(xué)談?wù)勀嫦蛩季S的培養(yǎng)。

一、在概念教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維

學(xué)生對定義、概念的理解，往往只停留在表面上，習(xí)慣于從左到右的理解，其實(shí)每個定義都是雙向的。因此，教學(xué)中在正面闡明定義的同時，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反向思考，列舉反例，根據(jù)定義、概念判斷是非，區(qū)別異同，逐步培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。比如:

【例1】講了函數(shù)的概念后，可變化教材中的實(shí)例:(1)一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26秒落到地面擊中目標(biāo)。炮彈的射高為845米，且炮彈距地面的高度h(單位:m)隨時間t(單位:s)變化規(guī)律是h=130t-5t2。

其中，

。

問1:時間t是高度h的函數(shù)嗎?

問2:假設(shè) ，炮

彈距地面的高度h仍是時間t的函數(shù)嗎?

問3:假設(shè)，

炮彈距地面的高度h仍是時間t的函數(shù)嗎?

同時設(shè)計(jì)問題:判斷下列各個圖形中，不可能是函數(shù)y=f(x)的圖像的是()

通過問題的設(shè)計(jì)，從“數(shù)”與“形”兩個角度，使學(xué)生能抓住函數(shù)概念的本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生善于從逆向角度去理解概念，不但提高了學(xué)生的思維能力而且促進(jìn)了其學(xué)習(xí)方法的改進(jìn)。

再如:講了奇偶性的定義并能判斷簡單函數(shù)的奇偶性后，可以出示問題:

【例2】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+

3a+b是偶函數(shù)，且定義域?yàn)閇a-1，2a]，求a，b的值。

分析:此問題是“給定函數(shù)判斷奇偶性”的逆向問題，它是已知奇偶性求字母參數(shù)的值。由定義，f(-x)=f(x)化簡可得:2bx=0，要使此等式對定義域內(nèi)的任意一個x都成立，只能b=0，又根據(jù)函數(shù)定義域在數(shù)軸上所示的區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，有

2a=1-a，解得a= 。

解決此逆向問題雖然與正向問題一樣，圍繞偶函數(shù)的定義，但學(xué)生對“定義域內(nèi)的任意一個x”及“定義域的對稱性”有了更深地體會，從而促進(jìn)了逆向思維的訓(xùn)練。

二、在定理、公式的教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維

數(shù)學(xué)中的公式一般是可逆用的。教師在教學(xué)中，可以隨時選用或組編逆用思維的問題，來訓(xùn)練逆向思維。比如三角函數(shù)中的同角三角函數(shù)基本關(guān)系中“1”的回代，和差角、倍角公式的逆用問題。但對定理的逆用要注意其限制條件，像必修一中的零點(diǎn)存在定理，我們可設(shè)置如下逆向問題:

【例3】對任一函數(shù):

(1)實(shí)數(shù)c是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上的零點(diǎn)，是否必有f(a)·f(b)<0?(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上不存在零點(diǎn)，是否必有f(a)·f(b)≥0?

三、在性質(zhì)的運(yùn)用中培養(yǎng)逆向思維

在函數(shù)的每一個性質(zhì)的運(yùn)用中，我們都可以恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置一些逆向問題，提高學(xué)生的逆向思維能力。像:

【例4】設(shè)f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數(shù)，且滿足f(xy)=f(x)+f(y)。若f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析:由f(xy)=f(x)+f(y)及f(3)=1可得2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(9)，又f(a)>f(a-1)+2，所以f(a)>f(a-1)+f(9)=f[9(a-1)]，再根據(jù)f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性，有

Aa>0

aa-1>0解得:

Aa>9(a-1)

以上問題是已知單調(diào)性的條件，求有關(guān)字母參數(shù)的范圍。解決此問題就是通過多次的逆向推理，使條件逐步向所求結(jié)論靠攏，最后逆用單調(diào)性解決。

【例5】已知函數(shù)f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]，若f(x)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍。

分析:求解本題時，學(xué)生很容易受對數(shù)函數(shù)定義域的影響，通過使不等式(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立出發(fā)來列不等式組。問題出在對正向思路沒有理解透徹，事實(shí)上，要使此函數(shù)的值域?yàn)镽，應(yīng)使真數(shù)能取到所有的正數(shù)。

先設(shè)t=(a2-1)x2+(a+1)x+1，然后要使t能取到 上的任何實(shí)數(shù)，只需

(1)若(a2-1)≠0，

解得:

(2)若(a2-1)=0，則 ，當(dāng)a=1時，t=2x+1。滿足要求。

當(dāng)a=-1時，t=1。(不合，舍去)

綜上:

反思:在構(gòu)造逆向問題時，應(yīng)在學(xué)生對正向問題已有一定基礎(chǔ)的前提下，否則會增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，根本談不上思維能力的提高。

【例6】設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時f(x)是單調(diào)函數(shù)，

則滿足 的所有x之和為( )

A.-3B.3C.-8D.8

分析:由單調(diào)函數(shù)的單值性，可得方程;再由偶函數(shù)有 ，又得一方程，共有四根，即由

化簡為x2+3x-3=0，此時x1+x2=-3

得

即x2+5x+3=0，此時x1+x2=-5

所以滿足條件的所有x之和為-3+(-5) =-8

四、利用“正難則反”的原則培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

在解題過程中，一般都是由所給條件直接向結(jié)論逼近，但有些問題，需要改變思考的角度，經(jīng)常要從反面去考慮，或者從結(jié)論要成立所必須具備的條件去考慮，以獲取解題的突破和簡捷的方法。比如:

【例7】將函數(shù)

的圖像作如下變換:

(1)向右平移個單位;

(2)把所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變;

(3)再把所得圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，橫坐標(biāo)不變。結(jié)果得到函數(shù)y=sin4x的圖像，求

的表達(dá)式。

分析:題目給出了一個待定的函數(shù)，其圖像通過3次變換后的解析式為y=sin4x，這需要我們根據(jù)變換條件去探索待定的系數(shù):A、 、 。如果我們利用正向思維去思考這個問題的解答方案，則其解答過程是較復(fù)雜。我們采用逆向思維的方式，從變換的函數(shù)式y(tǒng)=sin4x出發(fā)，逆向推導(dǎo)待定函數(shù)

的表達(dá)式，可以得出一種簡捷的解法，其解題思路清晰。

在教學(xué)中，教師要有意識、有目的地加強(qiáng)學(xué)生逆向思維能力的訓(xùn)練，把思維方法教給學(xué)生，讓他們在積極有效的思維活動中去體會、模仿、運(yùn)用、創(chuàng)造，只有這樣，才能更好地發(fā)展學(xué)生的智力。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

【參考文獻(xiàn)】

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[3] 任樟輝. 數(shù)學(xué)思維論[M]. 南寧:廣西教育出版社，1996.

(作者單位:浙江省常山縣三衢中學(xué))