一堂“問題教學”觀摩課的教學實錄

一、設計意圖

新課程積極提倡學生“主動參與、樂于探究、勤于思考”，以培養學生“獲取新知識”、“分析解決問題的能力”，而不再視知識為確定的、獨立于認知者的一個目標，而是視其為一種探索行動或創造的過程。依據新課程的對教學要求和教學內容的需要，設計了《雙曲線幾何性質》本節課的教學。

二、過程實錄

(一)提出問題:前面我們已經學習了橢圓及其雙曲線的概念，大家告訴我你們學的如何?

(畫出雙曲線方程的草圖)

(1)給學生5分鐘的時間，然后同學相互交換成果，比較討論下，談談有何體會。

(2)到學生中去觀察，找幾個典型錯誤實例。

(3)通過討論，再通過投影將幾個典型錯誤實例展示給大家看，讓同學感受自己知識的不足。

設計意圖:拋出問題與學生現有知識產生碰撞，引起學生興趣。為整節課奠定了一個動手探索，自主發現的基調。

(二)制定方案:誰有辦法較準

確的畫出雙曲線方程的草

圖呢?接下來我們就來探索一下，能不能解決這個問題。

拋出問題:我們是如何畫出橢圓草圖的?那么是否可以用類比方法解

決雙曲線 的草圖?

引導學生要畫出圖像必須從方程入手，然后討論確定出研究步驟:

(1)確定圖像區域;

(2)曲線是具有對稱性;

(3)曲線的大致變化趨勢;

(4)曲線的開口情況。

設計意圖:明確研究方案，為后續討論指明了方向，使得學生的探索具有方向性，有利于問題解決。

(三)剖析問題

(1)第一小組成果:考察了方程x，y的取值范圍得到圖像應該在直線確定的區域外側(這個探索過程學生完成的很漂亮，主要是學生類比了橢圓草圖的得到過程)。

動手任務1:大家在白紙上畫出雙曲線所在的區域。

(2)第二小組成果:圖像關于x，y及原點中心對稱。

這個過程學生得到有點困難，所以我們實施的啟發引導方程f(x，y)=0關于x，y及原點對稱會有什么特征。完成這個過程后，學生很快探索出成果。完成情況不錯。

思考任務2:第二小組同學的成果能給我們畫草圖帶來何幫助?

學生回答:只要畫出第一象限內的草圖，然后根據對稱性就可以畫出全部圖像了。

(3)第三小組成果:方程圖像在第一象限內的圖像y隨x增大無限接

近，但達不到。

這個內容是教學的重點，也是難點，要注意逐步啟發教學。在教學過程中分這么幾步:

1.回顧函數圖像變化趨勢是靠什么來衡量?

學生答:函數單調性!

老師追問:如何判斷單調性?

學生答:定義、圖像、y隨x增大而增大。

2.雙曲線是函數嗎?有辦法變形成函數不?

學生答:雙曲線不是函數，但在第一象限內的圖像可以理解成函數圖像。

老師追問:函數解析式是什么?

學生答:

3.在第一象限內的雙曲線對應函數單調性如何?

學生答:y隨x增大而增大，所以函數在第一象限內單調遞增。

老師追問:黑板上畫出兩種遞增的形態是不是可以隨意遞增呢?

(1) (2)

引導學生觀察函數值的變化情況。(給出2分鐘思考時間)

學生回答:無論x有多大，函數值

Yy永遠比小。

老師答:非常棒!你能解釋下為什么?

學生答:

老師問:非常好，大家能根據上述函數關系來回答反映在圖像上他們的位置關系有何特征?

學生答:隨著x的無限增大，曲

線的圖像越來越靠近直線，但

永遠不能達到。

老師答:GOOD，大家回憶一下以前我們研究的函數有沒有類似的表述?

學生答:雙曲線函數有這個性質，那條線叫漸近線。

老師答:對，那直線叫什么好呢?

學生異口同聲的回答:漸近線。

4.你能得到雙曲線圖像變化趨勢嗎?

學生答:能，根據對稱性就可以完成了。

動手任務3:大家在草稿紙上繼續完成我們剛才沒完成的草圖。(給同學動手2分鐘)

老師找幾個典型圖像，然后用投影儀展示給學生看，初步享受成果，體會快樂。但又提出問題，他們畫的圖像還不那么一致，所以還有必要研究另一個問題，也就是第四組同學的工作必須完成。

(4)第四小組成果

老師引導:橢圓中有控制形狀的量e，雙曲線中有沒有呢?我們類似橢圓也給雙曲線定義:

離心率是如何控制雙曲線形狀的呢?(給學生3分鐘討論時間)

老師問:大家討論出結果了沒有?

學生答:

，漸近線斜率越大，離心率越大。

老師答:非常好，簡單說e越大，帶過來漸近線的斜率越大(第一象限)，導致雙曲線開口越大。

老師答:通過剛才所有同學的不懈努力我們完成了最先給出的4個問題。現在大家能告訴我你如何較準確畫出雙曲線草圖?

動手任務4:在草稿紙上完成我們最先給出的雙曲線方程，比較一下你最初畫的圖像，修改錯誤之處。

設計意圖:本環節是本節課的關鍵。所以在整個設計過程中我采用了以小組為單位進行任務分工解決，提高解決效率。同時對于較為困難的問題采用適時引導，層層設問，引導學生解決問題。同時在整個過程中始終貫穿這一個任務:正確畫出雙曲線草圖。每每發現一點新知識就及時應用于畫圖。讓學生邊探索，邊應用，體會學以致用。這個設計環節不僅培養了學生的動手與合作學習的能力同時也讓學生體會成功的快樂，提高對數學研究的積極性。

(四)解決問題

展示部分學生優秀的作品，讓學生充分體驗成功的快樂。然后結合圖像給出雙曲線中幾個相應的概念:頂點，焦點，實軸，短軸，漸近線等。

總結歸納:通過剛才學習，誰能總結下如何畫出雙曲線草圖?能歸納下基本步驟嗎?

(1)確定曲線范圍;

(2)畫出漸近線方程(兩條);

(3)畫出第一象限草圖;

(4)根據對稱性完成整個圖像。

設計意圖:展示成果，充分肯定學生的勞動成果。對問題進行歸納、概括、提升，獲得解決雙曲線方程的基本思路。同時也培養學生通過方程研究曲線的能力。

(五)鞏固問題

例:求雙曲線9y2-16x2=144的半實軸長和虛軸長、焦點坐標、離心率和漸近線方程。

設計意圖:通過這個例題讓學生體會下如何研究焦點在y軸上的雙曲線幾何性質與焦點在x軸上雙曲線的幾何性質有何異同。特別指明:焦點在x和在y軸上雙曲線標準方程對應的漸近線方程公式化形式是不同的，為下節課故設懸念。

(六)深化提升

思考作業:探究方程x2-3y2-2x=0具有何性質?并畫出草圖。

設計意圖:通過本題更一步強化如何通過方程研究曲線的基本過程。檢驗學生通過方程研究曲線的能力。

三、自主性評價

本課的教學設計有別于傳統的教學設計。這是將問題拋給學生，然后通過逐步引導、啟發，發現問題，解決問題，發現新知識的過程。整個教學設計其實就是一個研究性課題。解決了如何通過方程研究圖像的問題，也完成了整個教學計劃。更將雙曲線的幾個零散的幾何性質串聯在一起，形成一個整體。讓學生從使用角度、整體大局角度去掌握雙曲線的性質，但遺憾的是本教學設計對學生要求較高，極少部分同學在探求新知識上存在一定困難。

【參考文獻】

[1] 劉兼《數學新課程與數學學習》，高等教育出版社，2008.

[2] 吳永軍《新課程備課新思維》，教育科學出版社，2004.

(作者單位:浙江省永嘉中學)