數學問題解決教學中的問題情境設計

摘 要： 根據數學問題的類型，在總結前人觀點的基礎上，本文作者對“問題”的含義作了一定的解釋。在數學問題教學中，問題情境的設計在整個教學過程中占有重要地位。好的問題情境，能達到激發學生好奇心和求知欲，產生認知沖突， 引起探究的目的。

關鍵詞： 數學問題 “問題解決”教學 問題情境 設計

1980年，美國數學教師協會在《關于行動的議程——關于80年代中學數學的建議》中首次明確指出，“問題解決應該是20世紀80年代學校數學教育的核心”，“數學課程應當圍繞問題解決來組織”，“數學教師應當創造一種使問題解決得以蓬勃發展的課堂環境”，“在問題解決方面的成績如何，將是衡量數學教育成敗的有效標準”。［１］之后，“問題解決”即成為數學教育領域研究的熱門課題。

20世紀80年代，人們對于問題解決的研究主要集中在以下幾個方面：一是對“數學問題解決”中“問題”的界定和研究；二是對問題解決過程的研究；三是將問題解決與數學教育聯系起來，對怎樣進行“問題解決”教學作了一定的研究。［２］－［３］本文針對“問題解決”教學，就教學過程中的問題情境的設計環節作了一定的探討。

1.“問題”的含義

問題是問題解決的起點，有什么樣的問題就有什么樣的問題解決。對于問題解決中問題的理解，歷史上有不同的闡述。《牛頓大詞典》中，“問題”的含義是指那些并非可以立即求解或較困難的問題，是需要探索、思考和討論的問題，需要積極思維活動的問題。著名數學教育家波利亞在《數學的發現》中指出：所謂“問題”意味著去尋找適當的行動，以達到一個可見而不立即可及的目標。依據不同的分類標準，學者們對數學問題有如下分類：

根據數學教學的要求，波利亞曾把數學問題作了如下的分類：鼻子底下就有現成的法則、帶有選擇性的應用、組合的選擇和接近研究水平四類問題。“數學問題解決”中的“問題”則是指接近研究水平的這類問題。

根據數學問題的情境特征，我們常將數學問題分為純數學問題和數學應用問題，而純數學問題又分為常規問題和非常規問題兩個子類。在1988年第六屆國際數學教育大會上，“問題解決，模型化及應用”課題組主席M.Niss把“數學問題解決”中的“問題”界定為非常規的數學問題和數學應用問題。［４］

根據數學問題的性質，將數學問題可分為練習題、應用型問題、開放型問題和開拓—探究問題。按照這種分類，數學問題解決中的“問題”是指開放型問題、開拓—探究問題。

綜合以上觀點，筆者對“問題”的含義作如下的解釋：

（1）“數學問題解決”中的“問題”是指非常規的數學問題和數學應用問題。它并不包括有惟一確定的方法、規則和原理可遵循，且解題步驟完全確定的常規數學問題。

（2）對問題的認識主體——學生而言，問題具有以下特征：可接受性——問題要符合學生的認知水平并能激發學習興趣；障礙性——學生必須經過深入的研究與思考，甚至多次嘗試之后才能獲得解決問題的方法，以及問題的答案；探究性——問題不能用常規的方法去解決，需要進行各種探究活動。

（3）“數學問題解決”中的“問題”與習題有本質的區別。“問題”的內容是非常規的，既不能模仿教材，又沒有可參考的范例；解題模式多樣，答案也不惟一。它適合于學習發現和探究的技巧，以及數學事實的原始發現，主要是用來培養學生的創造性能力的。而習題通常屬于常規問題，有典范解法，且模式也比較規范、固定。它適合于數學事實的學習和數學技能、技巧的訓練，主要是用來鞏固所學的知識和訓練技能、技巧的。

2.問題情境設計

數學問題解決是從一定的數學問題情境開始，運用已知的知識尋求解決問題的方法和途徑，并達到問題目標的探索過程。即：問題情境→轉換問題→尋求解法→求得結果。所以數學問題解決教學的第一步是精心設計“問題”情境。

在教學過程中，設計好的“問題”情境，能使枯燥的數學課堂變得有吸引力，從而提高教學質量和學習效率；能激發學生的求知欲和學習的心向，使其將要達到目標的愿望轉化為對知識的渴求；能引起學生對問題的思考，誘發質疑猜想， 喚起強烈的問題意識。在數學能力方面，好的“問題”情境還可以拓展學生的思維，提高分析問題和解決問題的能力。另外，通過解決具有實際意義的數學問題，可以樹立學生學習數學的自信心，增強學習的主動性。［５］

2.1 問題情境設計的要求

問題情境，首先是要有問題，其次才是情境。而“問題”具有可接受性、障礙性和探究性三個特征，所以“問題”情境的設計要遵循一定的要求：

第一，問題情境要緊扣教學內容，針對教材的特點和學生的實際，體現課程標準中的教學目標。

第二，問題情境應建立在學生已有知識的固著點，即學生的“最近發展區”上。

第三，問題情境要能啟發學生尋找能夠識別的解題模式，要有利于學生掌握有關的數學知識和思想方法。

第四，問題要富有層次感，入手容易，開放性強，解決方案不惟一，給學生思維和創造的空間較大；要具有現實意義，讓學生認識到研究的價值。

第五，問題情境要能引起學生的認知沖突和學習意向，啟迪學生的思維，激發學生的探究意識。

2.2 問題情境設計的方法

在現實生活中，任何事情都是有一定的方法可循的。所以，在數學教學中，選擇恰當的方法創設問題情境，對教師的教學和學生的學習都具有事半功倍的效果。

2.2.1 非常規數學問題情境設計

2.2.1.1 利用現實生活中的相關事實，設計問題情境。

數學來源于人們的生產與生活實踐，因此數學中的概念和原理都是與社會實踐緊密相連的。在教學設計中，利用現實生活中的實際問題引入數學知識，不僅可以激發學生的學習興趣和學習動機，使學生進入情緒高昂和智力振奮的內心狀態，而且可以培養學生從現實生活中提煉數學和利用數學知識解決問題的意識，更可以讓學生明白所學數學知識的應用價值，引導學生用數學的眼光看世界。

2.2.1.2 從學生的“最近發展區”出發，設計問題情境。

心理學家維果茨基研究指出：“兒童的發展有兩種水平，現有發展水平和最近發展區的水平。”教學就是要把最近發展區的水平轉化為現有發展水平，促進學生認知結構的發展。在教學中，教師要對教學內容和學生有比較深入的了解，設計富有挑戰性和探究性的問題情境時，善于由淺入深，鋪設階梯或借助直觀，讓學生進入最近發展區；善于打破“最近發展區”，讓學生向更高層次發展。［６］

例如，在學習“平方根”時，設計這樣的問題：面積為9、16、3、a的正方形，它的邊長各是多少？對于前兩個正方形的邊長學生會輕而易舉地答出來，但在求后面兩個正方形的邊長時，卻遇到了困難。這引發學生的思考，去探究尋求解決問題的方法，從而引入新知識。

2.2.1.3 利用帶有趣味性的問題，設計問題情境。

問題的表述要具有藝術性。對于同一問題，所采用的陳述方式不同，得到的效果也不盡相同。在創設情境時，教師應盡量使得表達新穎，讓學生坐不住，欲解決而后快。以“趣”引“思”，能使學生處于興奮狀態，誘發學生主動學習和積極思維，給學生留下深刻的印象。

2.2.2數學應用問題情境設計

2.2.2.1 利用具有探索性的問題，設計問題情境。

對于一些問題，解決之后并不能代表結束。我們可將其作為進一步探索的跳板，讓問題向深層次發展，促進學生應變能力的提高，因此安排問題時，應由淺入深，由易到難，由基礎題到靈活性稍大的題目等。

例如，學習“三階幻方”時，即在3×3的正方形小方格中，填進1，2，3，…，9共9個數字，使得各行各列，以及對角線上的數字的和均相等。學生通過試探找到答案后，提出以下問題：答案是否惟一？如果換用另外9個數字，結果會怎樣？經過進一步的探討，學生得出這樣的結論：如果是一個關于1，2，3，…，9的三階幻方，那么aS+b也是三階幻方，所以，由此可以產生無窮多個三階幻方。到此任務是否完成了呢？任何一個三階幻方是否都可以表示成aS+b的形式呢？這樣又會激起學生的思考。

2.2.2.2 利用開放性的問題，設計問題情境。

開放性問題的答案不惟一，解法也具有多樣化。利用開放性的問題，設計問題情境，有利于培養學生的創造性思維。而且能力水平不同的學生都能參與，使每一位學生都能體驗到成功的喜悅。

例如，在學習了“一元二次方程”之后，可讓學生解答這樣的問題：在一個長為6m，寬為5m的矩形荒地上，開辟一個花壇，使得花壇的面積是原荒地面積的一半，應該如何設計？這個問題的答案不惟一，學生可以充分發揮想象力設計出多種圖案。另外，我們變換題目的條件，可以編制出解法類似的新問題。通過解答這個問題，既有利于學生鞏固所學的知識，又有利于培養學生的創造性思維。

數學問題解決并非可以立即求解或較困難的問題，而是需要探索、思考、討論和積極思維活動的問題。所以，在問題解決教學中，問題情境的設計是至關重要的。這就要求教師深入了解學生的生活經驗，結合教材的特點，設計符合學生認知規律和心理特點的問題情境。這樣能引起學生的認知沖突，調動學生的學習積極性，營造出學生參與的課堂氛圍，從而，有利于提高教學質量和學習效率；有利于培養學生質疑猜想的能力；有利于拓展學生的思維，培養學生的創新精神。

參考文獻：

［1］葉立軍.數學新課程理念與實施［M］.浙江：浙江大學出版社， 2005：241－251.

［2］顧泠遠，易凌峰，聶必凱.尋找中間地帶［M］.上海：上海教育出版社，2003：242－311.

［3］綦春霞.數學問題解決在中國的研究歷史及其影響［J］.課程·教材·教法，2007，（12）：32－35.

［4］馬斌.創設問題情境貫徹新課程理念［J］.數學通報，2007，46，（10）：17-19.

［5］陸書環，傅海倫.數學教學論［M］.北京：科學教育出版社，2004：235-244.

［6］張興.維果茨基關于教學與發展關系的研究［J］.外國教育研究，1998，（6）：11-13.