巧用均值定理求最值

摘 要： 均值定理中右式是常數時為左式的最小值，常用“均分”的方法，左式是常數時為右式的最大值，常用“調節系數”方法。化變量為定值需一定的技巧。

關鍵詞： 巧解 最大值 最小值 正數和 正數積

數學中的“均值定理”又稱“重要不等式”，可見其在不等式章節中的重要性。公式為x+x+…+x≥n，其意為正數x，x，…，x的算術平均值不小于它們的幾何平均值。又可認為：當左式是常數時為右式的最大值，當右式是常數時為左式的最小值，所以數學中常用均值定理求最值問題。應用定理必須注意三個條件：正數、定值、等號，三者缺一不可，其中化變量為定值需一定的技巧。

1.求正數和的最小值

例：求x+；x+，（x＞0）的最小值。

解：［分析］求正數和的最小值，必須化正數積為定值，常用“均分”的方法。

∵x＞0，＞0，

∴x+=++≥3=。

當=，x=等號成立，所以x+的最小值是。

同理：x+=x++≥3=，

∴x+的最小值是。

2.求正數積的最大值

例：求x（1-2x）；x（1-2x），（0＜x＜）的最大值。

解：［分析］求正數積的最大值，必須化它們的和為定值，常用“調節系數”方法。

∵x＞0，（1-2x）＞0，

∴x（1-2x）=·2x·（1-2x）≤=。

當x=時等號成立，所以x（1-2x）的最小值是。

同理x（1-2x）=·4x·（1-2x）·（1-2x）≤·=，

∴x（1-2x）的最小值是。

3.應用一例

當圓錐的母線長為定值a時，問圓錐的高h為何值時，它的體積V有最大值，最大值是多少？

解：設底面半徑為r，則r+h=a，V=·π·r·h=·π·（a-h）·h。

［分析］：V恒為正數，將V平方，再調節系數，化它的和為定值。

V=·π（a-h）（a-h）·h

=π（a-h）·（a-h）·2h≤π≤π（）

當a-h=2h時，即h=a，r=時，體積V有最大值πa。

“興趣是最好的教師”，而“巧解”能激發興趣的產生。正如上述，巧妙變換算式，熟記而精思，活化了公式，避免了解題過程的繁雜與冗長，使人耳目一新，豁然開朗，從而收到了出奇制勝的效果，讓學生真正體會到數學的精華，充分調動其求知欲，提高學習能力。因此，研究“巧解”是數學教育者的重要工作，也是創新意識的具體體現。

參考文獻：

［1］五年制高等職業教育文化基礎課教學·數學.蘇州大學版.

［2］數學精編.浙江教育出版社.