數(shù)學(xué)悖論與創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)

摘 要： 本文闡述了數(shù)學(xué)悖論與創(chuàng)新思維的關(guān)系，并指出如何培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)悖論 創(chuàng)新思維 能力培養(yǎng)

趣味數(shù)學(xué)歷來(lái)不被人們所重視，只是娛樂游戲的工具。然而，悖論——作為趣味數(shù)學(xué)的重要組成部分，在推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展上，其作用功不可沒，它的每一次出現(xiàn)，都引發(fā)了數(shù)學(xué)危機(jī)。

悖論是指：如果在某一個(gè)理論系統(tǒng)中，能夠推出兩個(gè)互相矛盾的命題或語(yǔ)句，或者該系統(tǒng)中能證明兩個(gè)互相矛盾的等價(jià)命題或語(yǔ)句，則稱該理論系統(tǒng)中包含有悖論。而數(shù)學(xué)史上發(fā)生的三次數(shù)學(xué)危機(jī)都與悖論有關(guān)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比引發(fā)的，而在此之前，數(shù)學(xué)界公認(rèn)的是所有的數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比，其實(shí)質(zhì)是：是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需要添加無(wú)理數(shù)，徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì)，依賴實(shí)數(shù)理論的建立；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓“無(wú)窮小量”說法的質(zhì)疑引起的，它的實(shí)質(zhì)是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。直至柯西創(chuàng)立極限理論及魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“ε-δ”語(yǔ)言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)由羅素悖論引發(fā)的危機(jī)。羅素構(gòu)造了一個(gè)集合s：s由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：“s是否屬于s呢？”不論怎樣回答，都會(huì)產(chǎn)生矛盾。為了消除悖論，數(shù)學(xué)家要將康托“樸素的集合論”加以公理化，并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則，但第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，并不是完全令人滿意的。

雖然悖論引發(fā)了3次數(shù)學(xué)危機(jī)，但是隨著危機(jī)的消除，數(shù)學(xué)也在步步向完備體系發(fā)展，可以說，悖論在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史中，起著不可磨滅的作用，它的作用主要表現(xiàn)在檢驗(yàn)、完善某一理論體系，推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了分析基礎(chǔ)理論的完善與集合論的創(chuàng)立；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)由此獲得了蓬勃發(fā)展。然而，每一次悖論的發(fā)現(xiàn)都需要突破常規(guī)的思維方式才可以做到，而突破常規(guī)的思維方式就需要?jiǎng)?chuàng)新。

下面舉幾例說明如何在悖論中，找到創(chuàng)新點(diǎn)，發(fā)散思維，解決問題。

例1：老板損失了多少。

有個(gè)人在A店鋪買了90元的東西，然后交給店鋪老板一張100元的鈔票。由于店鋪老板正好沒有零錢可找，便到隔壁B店鋪兌換了零錢，找給這個(gè)人10元。過了一會(huì)，B店鋪老板發(fā)現(xiàn)這張100元的鈔票是假鈔，便找到A店鋪老板要求賠償。A店鋪老板無(wú)奈，只好又賠償了B店鋪老板100元錢。過后，A店鋪老板非常氣惱，認(rèn)為自己損失了200元；而B店鋪老板安慰他說，只損失了10元。請(qǐng)問：究竟A店鋪老板損失了多少錢？

分析：老板到底損失了多少錢？200元？10元？還是其他數(shù)額？每個(gè)答案似乎都有道理，學(xué)生經(jīng)過一定的思考和討論，一定會(huì)悟出：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵在于明白受益和損失是一種對(duì)稱關(guān)系。在A店鋪老板與買東西的人之間，買東西的人什么也沒有支付，卻受益了100元，所以在此次交易中，A店鋪老板損失了100元；在A店鋪老板與B店鋪老板之間，因?yàn)锽店鋪老板沒有任何受益，所以A店鋪老板就沒有任何損失。綜上，A店鋪老板損失了100元。

例2：賣蘋果。

有兩筐各30公斤的蘋果要賣。其中，一筐大蘋果每2公斤賣6元，另一筐小蘋果每3公斤賣6元。這時(shí)有個(gè)人過來(lái)說：“這樣分開賣，還不如搭配著賣。2公斤大蘋果搭配3公斤小蘋果，一共賣12元。”賣蘋果的認(rèn)為這個(gè)建議合理，就開始搭配著賣。于是這個(gè)人又說：“那我就全買了。5公斤搭配蘋果12元，60公斤為12×12=144元。”賣完蘋果后，賣蘋果的人發(fā)現(xiàn)上當(dāng)了。請(qǐng)問賣蘋果的人是怎么上當(dāng)?shù)模?/p>

分析：賣蘋果的人之所以上當(dāng)，是因?yàn)閷⒕植砍闪⒌谋壤P(guān)系的傳遞性，當(dāng)成了整體成立的比例關(guān)系的傳遞性，因而產(chǎn)生了計(jì)算錯(cuò)覺。本題中，30公斤小蘋果按3公斤一份劃分，可以分為10組；而30公斤大蘋果按2公斤一份劃分，可以分為15組。因此，將它們以3∶2的比例搭配時(shí)，組合到第10組時(shí)，小蘋果就組合完畢，余下的5組10公斤大蘋果就不可能再按3∶2的比例組合，只能以大蘋果的實(shí)際價(jià)格來(lái)賣了。如果仍然按搭配價(jià)格來(lái)賣，自然就會(huì)少賣錢了。即：10公斤大蘋果應(yīng)該賣：6（元）×5（組）=30（元），而實(shí)際上只賣了12（元）×2（組）=24（元），所以賣蘋果的人少賣了6元。

從上面兩例可以看出，悖論學(xué)習(xí)與創(chuàng)新思維密切相關(guān)，在教學(xué)中教師切不可忽視它的作用。那么如何培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力呢？

創(chuàng)新思維的過程是開發(fā)大腦的一種發(fā)散思維過程，它是把某種有一定“依據(jù)”的“空想”變?yōu)椤艾F(xiàn)實(shí)”的大腦活動(dòng)過程，是通過思考，以概念、判斷、推理、設(shè)計(jì)、指導(dǎo)實(shí)踐等形式反映客觀事實(shí)的能動(dòng)過程。創(chuàng)新思維的開發(fā)不但與人的智力因素有關(guān)，而且還與人的非智力因素密切相關(guān)。非智力因素包括人對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力、直面困難和解決困難的控制能力；它還包括仔細(xì)觀察事物、坦率和明確地?cái)[出自己的意見與方案、做事專注而快速、能在合作中擺正自己的位置和發(fā)揮自己的作用、善于控制情緒、做事堅(jiān)持不懈的能力。

創(chuàng)新思維要求人們具有一定的創(chuàng)造性思維技巧。創(chuàng)造性思維技巧是指以各種智力因素與非智力因素為基礎(chǔ)，在創(chuàng)造活動(dòng)中，表現(xiàn)出來(lái)的具有獨(dú)創(chuàng)的、能產(chǎn)生新事物的高級(jí)的復(fù)雜的思維技巧。創(chuàng)造性思維技巧的本質(zhì)特征就是開拓和創(chuàng)新，即通過對(duì)已有信息進(jìn)行再加工、組合、分解、重構(gòu)，最后達(dá)到新發(fā)現(xiàn)和新突破。要學(xué)會(huì)新的思維方式，它要求我們掌握邏輯思維技巧、形象思維技巧、輻射思維技巧，以及逆向思維技巧，等等，尤其要學(xué)會(huì)通過多種思考方法的交叉互滲整合，才會(huì)發(fā)現(xiàn)新的突破。創(chuàng)新思維不僅需要有分析洞察的能力，還要有邏輯推理、辯證思維能力和善于發(fā)現(xiàn)的能力。另外，創(chuàng)新還要求突破常規(guī)思維。

至于如何培養(yǎng)創(chuàng)新思維，使自己的思維“軟化”，首先是拓寬思維的廣度，從更寬廣的范圍內(nèi)，把握事物之間的聯(lián)系；其次是擴(kuò)大觀察范圍，為思維注意力的適時(shí)轉(zhuǎn)移、分配做好準(zhǔn)備，并以此消除思維定勢(shì)的影響；再次是破除思維障礙，想得再多點(diǎn)，再寬點(diǎn)，從而突破格式塔的完形心理（格式塔是德文Gestalt的意譯，意為完整結(jié)構(gòu)）。從選擇心理上講，在競(jìng)爭(zhēng)性的互動(dòng)選擇中，每個(gè)人都希望自己受益最大。但從格式塔心理學(xué)角度來(lái)看，結(jié)構(gòu)不是其組成部分的簡(jiǎn)單相加，其組成部分的性質(zhì)是由內(nèi)部系統(tǒng)性整體結(jié)構(gòu)決定的。這也就是“格式塔”的意義所在；第四是培養(yǎng)群體協(xié)作精神，其目的是為了集思廣益，從而激勵(lì)群體的集體智力，開發(fā)更多的思路；第五是避免一味地求同，從而真正體現(xiàn)創(chuàng)新思維的“求異”的題中應(yīng)有之義。

國(guó)外曾經(jīng)進(jìn)行過一個(gè)動(dòng)物實(shí)驗(yàn)：把一只雞放在一道柵欄一側(cè)，另一側(cè)則放上雞食。盡管繞過柵欄即可以吃上雞食，但這只雞除了咯咯地一邊叫，一邊盯著雞食盆干瞪眼外，再無(wú)其他辦法。國(guó)外還曾經(jīng)有過一個(gè)動(dòng)物實(shí)驗(yàn)：把跳蚤放在一個(gè)密封的容器中，跳蚤的每一次跳都碰到容器蓋。當(dāng)把容器蓋取掉后，跳蚤只能跳到原來(lái)容器蓋的高度，再也跳不出容器了。雞和跳蚤不能突破本能的障礙，但人卻可以突破思維的障礙。只要假以時(shí)日，經(jīng)過有目的的訓(xùn)練之后，偶而為之的“異想天開”，可以經(jīng)過一個(gè)由量變到質(zhì)變的過程，在一個(gè)新的思維能力高度上穩(wěn)定地形成具有創(chuàng)新根基的“標(biāo)新立異”。

因此，在創(chuàng)新思維活動(dòng)中，為了突破“常識(shí)”的束縛，我們應(yīng)該記住前蘇聯(lián)心理學(xué)家魯賓斯坦的一句話：“為了做出可能的事，不要忘記去做不可能的事。”為了使思維更趨于靈活、全面，就必須打破這種順序性的限制，針對(duì)事物的不同情況，多向發(fā)散，及時(shí)、靈活地改變對(duì)事物結(jié)構(gòu)、順序的認(rèn)識(shí)，以一種嶄新的非順序性的體驗(yàn)看待事物。

創(chuàng)新思維是當(dāng)今社會(huì)生存的通行證，是一個(gè)國(guó)家提高競(jìng)爭(zhēng)力的重要因素之一，也是一個(gè)人在這個(gè)社會(huì)上立足的重要基礎(chǔ)之一。在勇攀知識(shí)的高峰中，我們每個(gè)人都需要?jiǎng)?chuàng)新精神；在日益激烈的競(jìng)爭(zhēng)中，惟有憑借創(chuàng)新精神，我們才可以脫穎而出。

參考文獻(xiàn)：

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