高中數學應用題題型研究與學生解題能力的培養

摘 要： 生活中處處呈現出數學知識，學習數學的根本目的在于應用，因此培養學生應用題的解題能力顯得尤為重要，本文作者就如何培養學生解應用題的能力談談自己的教學感受。

關鍵詞： 數學應用題 解題能力 心理和語言障礙 數學建模

近幾年的高考試題越來越重視對學生應用能力的考查。學習數學的根本目的在于應用，數學教育關鍵是培養學生應用數學的意識，提高學生解決實際問題的能力。在此我就在高中數學教學中怎樣培養學生應用題的解題能力談談自己的感受。

1.解題困難原因分析

首先，許多應用問題都與日常生活、生產、社會、自然有密切的聯系，都有一定的實際背景。例如水溝挖土問題、銷售問題、GDP和人口增長率問題、存款利息問題、鋼錠澆鑄容器問題、土地沙化面積、清洗蔬菜上的殘留農藥問題等，它們都有各自的實際背景。我們要解決這些問題，必須熟悉有關的實際背景，了解相關的知識，在此基礎上才能理解問題的含義，使問題得到解決，否則在解決問題的過程中就會遇到一定的困難。

其次，信息量大，閱讀要求高。由于應用問題涉及許多實際的內容，有些還有很多數據、表格和圖形，因此往往題目冗長、字數很多、信息量大。而且還有許多新的術語，閱讀要求比較高。加之應用題的條件和結論之間的關系也比較復雜、比較隱蔽，于是相應的審題時間就比較長，難度也增大。要想從根本上解決這種困難，至關重要的是消除學生心理和語言的障礙。

2.幫助學生消除心理和語言障礙

許多學生一見應用題文字很長，數學中的情景又比較陌生，連題目都不敢去看了。實際上，自信、冷靜地去讀完題目也是對學生心理素質的一種考驗。教師必須幫助每一個學生樹立起學習的信心，提高心理承受能力，對難題保持冷靜，認真對待，不能隨意放棄，并且在每次平時考試都盡可能地考查一道與復習內容緊密相關的應用題，以便幫助學生消除心理障礙。要排除語言障礙，必須做好讀題的工作。讀題的過程通常可采取下列兩個步驟：

第一步：理清主次。

緊扣時代脈搏的應用題包含數量關系、情景設置等，就像一篇內容豐富的短文，學生要想對此做出初步的認識與評價，就得有目的地對此做出分析，理清框架。面對數學應用題，學生要學會積極思考“本題涉及的實際問題是什么？已知條件有哪些？其中哪些是重要信息？”將題目用“總、分”與“主、次”的形式理清，并選用特定的符號刪減掉次要條件，保留并突出重要語句。

第二步：掃除專業術語。

這幾年的應用題具有強烈的時代特征：耕地、糧食與人口的辯證關系；水污染的處理；飼養淡水魚的補貼；西紅柿的種植、銷售關系等，其中必然出現一些學生并不熟悉的專業術語、生活術語、地方性習慣等文字語言。其實這些陌生的術語并不可怕，并非不能理解，學生應縱觀全文，看是否有注釋和詮釋。有時題中一些術語，沒有注釋，其實這些術語往往不影響解題。所以，學生要牢記在深入應用題的時候不要試圖“全線爆破”，而應選擇“重點攻破”。

3.引導學生學會數學建模

閱讀是為了理解題意，建模的過程就是將文字語言、符號語言、圖表語言轉化成數學語言的過程。一道題目可能有較多的建模思路，應讓學生選擇自己最熟悉或運算過程少、技巧性不太強的數學模型來解答題目。一般來說，可采用下列策略幫助學生建立數學模型：（1）雙向推理列式，利用已知條件順向推理，運用所求結果進行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增長率的問題可建立指、對數或方程模型，行程、工程、濃度問題可建立方程（組）或不等式模型，拱橋、炮彈發射、衛星制造問題可建立二次模型，測量問題可建立解三角形模型，記數問題可建立排立組合模型，機會大小問題可建立概率模型，優化問題可建立線性規劃模型……此時剛開始“遙不可及”的應用問題已轉化成一個比較熟悉而且易解的純數字問題了。下面我就舉一道聯系實際的應用題來進行分析：

在對口扶貧活動中，為了盡快脫貧（無債務）致富，企業甲將經營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優惠價格轉讓給了尚有5萬元無息貸款的小型殘疾人企業乙，并約定從該店經營的利潤中首先保證企業乙的全體職工每月最低生活費開支3600元，逐步償還轉讓費（不計息）。在甲提供的資料中有：（1）這種消費品的進價每件14元；（2）該店月銷售Q（百件）與銷售價格P（元）的關系（如圖）；（3）每月需各種開支2000元。

試問：①為使該店至少能夠維持職工生活，商品價格應控制在何范圍內？②當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活的余額最大？并求最大余額。③企業乙只依靠該店，最快可在幾年后脫貧？

像上述這種應用題，有比較復雜的背景提示，有較多的專業術語，有數據圖形等題目條件。我們只要運用前面介紹的讀題方法進行分析，選取重要信息，刪減掉關于形勢、目的等的修飾，抓住題目的重要條件，將題意整理為：“企業甲將消費品專賣店以5.8萬元轉讓給了尚有5萬元無息貸款的企業乙，并約定經營利潤首先保證企業乙的職工每月開支3600元，逐步償還轉讓費（不計息）。在甲提供的資料中有（同題中（1）、（2）、（3））。”題中一些專業術語，如：無息貸款、轉讓費、月銷售與銷售價格的關系等均淺顯易懂，并不影響對全題的理解。最后，在抓住全題的基礎上，就需要我們進行數據重組了，可以采取列表的方式：①原有無息貸款：5萬元；②轉讓費：5.8萬元；③月收入：100Q（P-14）元；④月支出：生活費：3600元，各種開支：2000元；⑤月利潤余額：L=100Q（P-14）-3600-2000；⑥根據題中P與Q的關系圖轉譯成函數關系式：Q=-2P+50（當14≤P≤20時），Q=-P+40（當20＜P≤26時）。此時已經建立了P與Q的函數關系式，同時L與P的函數關系式也建立起來了，下面只要根據題目的要求進行列式求解就行了。

對聯系實際的應用題，讓中學生有他們更多的機會了解社會、聯系社會，用數學思想和數學方法來分析和解決實際問題，通過一定的實踐與訓練，學生一定能正確地理解題意而建立合理的數學模型，從而提高解題能力。