從信息角度看實數加群的自同構

[摘 要] 本文首先說明從信息角度看數學更多的是從哲學的視角來審視。通過一個數學例子:定義(R×R，+)上極小次直積，研究出了它存在的充要條件和性質，并找出了(R，+)的所有自同構，我們可以看到從信息學的視角來重新審視離散數學。

[關鍵詞] 信息學 極小次直積 自同構

一、前言

從一定的意義上說，信息學的數學基礎是離散數學，包括集合論、近世代數、圖論、形式語言、自動機理論、范疇與函子理論等，但它又不是離散數學的簡單應用，而是根據哲學的性質和特點，從新的視角對離散數學進行了深入的挖掘、拓展、賦予新的含義乃至于做了部分新的改造和制作，因而使離散數學具有了許多新質的特征。在信息學的視野中，離散數學的基本概念，像集合、集合間的各種關系、性質(等價、半等價等)，抽象的直積空間、映射、多元關系、結構、同態、同構等是適合于哲學對象的，即適合于描述任意的事物和一般事物機理的，而且經過某種改造或轉化，可以用來描述辯證的機制。我們可以來關于(R×R，+)上極小次直積及實數加群的自同構來很好的解釋廣譜哲學，信息學與數學的關系。

二、關于(R×R，+)上極小次直積及實數加群的自同構

1.引言

R×R是我們中學階段就熟悉的平面直角坐標系，它本身是一個域，為了簡化只把它看作是一個加群。

2.次直積定義

子群H≤G=G1×G2×…×Gn稱為群G1，G2，…，Gn次直積，如果對于每個i∈{1，2，3，…，n}。H在Gi上投射等于Gi。

3.(R×R，+)上次直積

由次直積定義，可知:如果H≤(R×R，+)，并且滿足。那么H稱為(R×R，+)上次直積。

現記Yx表示當橫坐標取x時，縱坐標yx所有取值所組成的集合。顯然，對于每個x∈R來說，Yx非空。(否則就投射不滿)很可能對于一個x來講，有多個yx與之相對應。會不會存在這樣的次直積呢?它對于任意的x來說，都有。

4.(R×R，+)上極小次直積的定義

稱這樣的次直積H為(R×R，+)上極小次直積，如果x∈R，都恰有惟一的yx與之相對應。

5.探索極小次直積應滿足的條件

假設這樣的次直積存在，我們下面具體來尋找其存在的條件。設H是(R×R，+)上極小次直積。建立雙射f∶R→R。則H可表示為{(x，f(x))∈R}。這樣一來，H在兩坐標軸上的投射均為R，只需要H成群。首先要滿足加法封閉，(x1，f(x1))，(x2，f(x2))∈H，有(x1，f(x1))+(x2，f(x2))=(x1+x2，f(x1)+f(x2))∈H，而另一方面因為(x1+x2，f(x1+x2∈H))，但是f是雙射，可知:1，x2∈H，有f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)。那么f(0)=0，說明(0，0)∈H，(x，f(x))∈H，有:(x，f(x))∈H，(0，0)+(x，f(x))=(x，f(x))，從而單位元找到了。對于任意(x，f(x))∈H來說，都存在(-x，f(-x))∈H，使得:(x，f(x))+(-x，f(x-x))=(0，0)，故逆元存在。另外，H顯然對于加法滿足結合律。

6.總結

H是(R×R，+)上極小次直積可得到:H={(x，f(x))∈R，f是R→R上雙射，且1，x2∈R，有f(x1)+f(x2)=f(x1+x2)}={(x，f(x))∈R，f∈Aut (R，+，)}，反過來，易驗證結論也成立。

結論一:(R×R，+)上極小次直積存在，其個數和實數加群上自同構群個數一樣。

下面我們來具體研究下實數加群(R，+)上的自同構。

作fx:R→R;r→xr，x∈R，且x≠0。顯然fx是R到R上的雙射。a，b∈R，有fx(a+b)=xa+xb=fx(a)+fx(b)。故知fx是R到R上的自同構。現構造一集合K={fxfx∶R→R;r→xr，∈R且x≠0，r∈R}，下驗證K對于乘法成群。(1)，fx∈K，有f1fx=fx。(2)fx∈K， fx-1∈K，使fxfx-1=f1;(3)fx，fy∈K，有fxfy(r)=fx(yr)=xyr=fxy(r)，r∈R。從而有fxfy=fxy∈K;(4)fx，fy，fz∈K，有fx(fyfz)=fxfyz=fx(yz)=f(xy)z=fxyfz=(fxfy)fz。故集合K是Aut(R，+)的一個子群。假設K是Aut(R，+)真子群，現任取δ∈Aut(R，t)且δ∈K那么有K≤〈δ，K〉≤Aut(R，+)。

現∈(δ，K)，那是(R，+)上的自同構，從而t∈R，且t≠0有φ(t)∈R。命(t)=s≠0，(t)=，現記=u∈R且u≠0。那么(t)=fu(t)且(0)=fu(0)故(r)=fu(r)，r∈R，那=fu∈K。說明(δ，K)，K，δ∈K矛盾。故Aur(R，+)=K，那Aur(R，+)={fxfx∶R→R;r→xr，x∈R且≠0，r∈R}。由此可知(R×R，+)上極小次直集的幾何意義。

結論二:在平面直角坐標系中，過原點且不與x，y軸重合的直線窮盡了(R×R，+)上的所有極小次直集。

三、結論

顯然，在這里關鍵是轉化條件如何數學地構造出來。對不同的問題，對象有不同的表現形式。在信息學中，我們要從哲學的不同觀察水平上探討“有”與“無”的相互轉化，可觀性與不可觀性的互相轉化等。綜上所述，我們對離散數學的新視角，不僅使我們對離散數學的理解大大超出了純數學的范圍(已擴展到一般事物機理和哲學對象的范圍)，而且也使我們對離散數學的理解超出了靜態的結構分析的范圍，即使我們能夠從動態流變的、辯證轉化的角度深化和拓展離散數學框架的意義，從而在一定的意義上，促使離散數學成為適用于充分廣泛知識譜系(包括哲學譜系)的、具有“無限變化玄機”的數學模式。

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