高中數學如何培養分析和解決問題的能力

摘要：分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中的數學問題，并能用數學語言正確地加以表述．它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數學能力的綜合體現．

關鍵詞：培養建模拓寬

[中圖分類號]G424.21[文獻標識碼]A[文章編號]1002-2139(2009)-10-0132-01

一、分析和解決問題能力的組成

1審題能力

審題是對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提．審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質的能力；分析、發現隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力．要快捷、準確在解決問題，掌握題目的數形特點、能對條件或所求進行轉化和發現隱含條件是至關重要的．

2合理應用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數學知識包括函數、不等式、數列、三角函數、復數、立體幾何、解析幾何等內容；數學思想包括數形結合、函數與方程思想、分類與討論和等價轉化等；數學方法包括待定系數法、換元法、數學歸納法、反證法、配方法等基本方法．只有理解和掌握數學基本知識、思想、方法，才能解決高中數學中的一些基本問題，而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢．

3數學建模能力

近幾年來，在高考數學試卷中，都有幾道實際應用問題，這給學生的分析和解決問題的能力提出了挑戰．而數學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心．

例如下圖為一臺冷軋機的示意圖．冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經過各對軋輥逐步減薄后輸出．

（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為 ，輸出帶鋼的厚度為 ，若每對軋輥的減薄率不超過 ．問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？

（一對軋輥減薄率=（輸入該對的帶鋼厚度- 從該對輸出的帶鋼厚度）／輸入該對的帶鋼厚度）

（Ⅱ）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長為1600mm．若第 對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為 ．為了便于檢修，請計算 、 、 并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度為變，且不考慮損耗）．

軋輥序號

1234

疵點間距 （單位:mm）

1600

（Ⅰ）題是一個常見的等比數列模型問題，即平均變化率類型，要解決該問題關鍵是理解題中“若每對軋輥的減薄率不超過 ”的含義；（Ⅱ）題若通過合理聯想，帶鋼從第 對軋輥出口處兩疵點間的距離和冷軋機出口處兩疵點間的距離的關系，由于在此過程中，兩疵點間的鋼板體積相等，故是一等體積幾何模型問題，可列式：

在該題的解答中，學生若沒有一定的數學建模能力，正確解決此題實屬不易．因此，建模能力是分析和解決問題能力不可或缺的一個組成部分．

二、培養和提高分析和解決問題能力的策略

1重視通性通法教學，引導學生概括、領悟常見的數學思想與方法

每一種數學思想與方法都有它們適用的特定環境和依據的基本理論，如分類討論思想可以分成：（1）由于概念本身需要分類的，象等比數列的求和公式中對公比 的分類和直線方程中對斜率 的分類等；（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對參數的討論、解不等式組中解集的討論等．又如數學方法的選擇，二次函數問題常用配方法，含參問題常用待定系數法等．因此，在數學課堂教學中應重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識一種“思想”或“方法”的個性，即認識一種數學思想或方法對于解決什么樣的問題有效．從而培養和提高學生合理、正確地應用數學思想與方法分析和解決問題的能力．

2加強應用題的教學，提高學生的模式識別能力

數學是充滿模式的，就解應用題而言，對其數學模式的識別是解決它的前提．由于高考考查的都不是原始的實際問題，命題者對生產、生活中的原始問題的設計加工使每個應用題都有其數學模型．1999年的“減薄率問題”是數列、不等式與方程；2000年的“西紅柿問題”是分段式的一次函數與二次函數等等．在高中數學教學中，不但要重視應用題的教學，同時要對應用題進行專題訓練，引導學生總結、歸納各種應用題的數學模型，這樣學生才能有的放矢，合理運用數學思想和方法分析和解決實際問題．

3適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面

要分析和解決問題，必先理解題意，才能進一步運用數學思想和方法解決問題．這一點體現在高考上就是一些新背景題、開放題的出現，更加注重了能力的考查．由于開放題的特征是題目的條件不充分，或沒有確定的結論，而新背景題的背景新，這樣給學生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導致失分率較高.如1999年理科的第16題和第22題，很多學生由于對“壟”和“減薄率不超過 ”不理解而不知所措。因此，在高中數學教學中適當進行開放題和新型題的訓練，拓寬學生的知識面是提高學生分析和解決問題能力的必要的補充．

解題教學的目的并不單純為了求得問題的結果，真正的目的是為了提高學生分析和解決問題的能力，培養學生的創造精神，而這一教學目的恰恰主要通過回顧解題的教學來實現．所以，在數學教學中要十分重視解題的回顧，與學生一起對解題的結果和解法進行細致的分析，對解題的主要思想、關鍵因素和同一類型問題的解法進行概括，可以幫助學生從解題中總結出數學的基本思想和方法加以掌握，并將它們用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的有力武器．

參考文獻：

1高中數學運算能力的組成及培養策略．《中學數學教學參考》

2例談高考應用題對能力的考查．《中學數學研究》