利用電橋法測量電容

鹿桂蘭

與在水箱里儲水的方式完全一樣,電荷也可以被儲存在一個被稱為電容的裝置里。在實際應用中,會出于不同的原因而利用電容器產生短而強的電流脈沖。盡管實際中應用的電容器有各種存在形式,但有一點是相同的,即它們都是由2塊導電板或被絕緣體隔開的2塊板子構成的。如果這2塊板子之間有電勢差,那么它們會帶上等量異號的電荷,攜帶的電荷量與電壓成正比。這是電容器的典型特征,這個恒定不變的比值即是電容器的電容。本實驗的目的是探究電橋法測量電容并驗證串、并聯電容器的電容計算公式。

1 實驗原理

電容器主要是由2塊金屬板構成的,它們用被稱為電介質的一種絕緣材料隔開。這樣的結構安排之所以能夠儲存電荷,是因為如果將電壓源與2塊板子相連,那么正電荷就會從一塊板子流向另一塊,同時使那塊板子帶上負電荷,此過程直到電介質內的磁場足夠強以致阻止電流的進一步流動時為止。這時,一定量的電荷(一端為正,另一端為負)被分別儲存在2塊板子上,電勢差等于它們之間的電源電壓。電荷與電勢差的比值是一個常數,稱為電容器的電容,因此,C=Q/V(1.1)。公式中,C表示電容,單位是法拉;Q表示電荷,單位是庫倫;V表示電勢差,單位是伏特。值得注意的是:電容的單位實際上是庫倫的平方/牛頓米,但它還是被稱為法拉,一方面是為了紀念邁克爾·法拉第,另一方面是為了簡潔方便。因為法拉這個單位太大,在現實中應用得很少,所以常常會用到微法拉(1法拉的百萬分之一),也會經常用到皮法拉(亦稱微微法拉,10-12F)。

當把電容器連接到交流電路中時,交替地充電和放電使電容器看起來像是通上交流電。交流電壓和通過的電流之間的線性關系很像歐姆定律中電阻的特性。電壓和電流之間的比值Xc被稱作電容器的容抗。所以,可以用類似測電阻的方法來測容抗。然而,容抗是與電容有關的,即:Xc=1/(2×π×f×C)(1.2)。公式中,Xc表示電容的容抗值,單位是歐姆;C是電容值,單位是前面提到的法拉;f是交流電的頻率,單位是轉/秒(或赫茲)。所以容抗不同于阻抗,它取決于頻率,當頻率接近于0時,容抗趨向無窮大。這表明一個事實,即在直流電路中(f=0),電容器實際上是開路的。但是對于特定頻率的交流電,電容器在許多方面就像電阻器。因此可以采用類似于惠斯登電橋電路(見圖1a)的方法進行電容的測量。所不同的只是用電容器替代橋臂一側的電阻器,用交流電源(本實驗采用信號發生器)替代電池,用一個合適的交流電檢測器(該實驗使用耳機)替代檢流計(圖1b)。與惠斯登橋式電路比較,若用C1和C2替代R1和R2,那么用容抗Xc1=1/(2×π×f×C1),Xc2=1/(2×π×f×C2)分別替代惠斯登橋式電路中對應的電阻,其等式變為(2×π×f×C2)/(2×π×f×C1)=C2/C1=R3/R4(1.3)。

上面這個方程式在平衡狀態下才成立,所謂平衡狀態,即替代檢流計的交流電檢測器指示為0。如果R3和R4已知,C2可以根據C1換算出來,C1是一個標準電容器,它的電容值已知且高度精確。電容和電阻之間的反比關系是由于電容和它的容抗間的反比關系所致。

利用這種反比關系能夠得到串聯或并聯電容器組的電容計算式。假設將3個電容器組成如圖2所示串聯電路,在這個交流電路中,它們的容抗分別是Xc1,Xc2,Xc3,系統的總容抗為各個容抗值之和,即:Xc=Xc1+Xc2+Xc3。將等式(1.2)代入上式,并且乘以2×π×f,可以得到下面結論:3個串聯在一起的電容器的等效電容為1/C=1/C1+1/C2+1/C 3(1.4)。

同樣的,當把3個電容器按圖3所示并聯在一起時,可以得到1/Xc=1/Xc1+1/Xc2+1/Xc3。此時的等效電容為C=C1+C2+C3(1.5)。

注意到這些等式與電阻串聯或并聯時的公式類似,只是對于不同的連接方式,公式恰好呈倒數關系,這主要是因為電容和容抗之間的反比例關系造成的。

利用圖1中的電容橋路也可以測定某種絕緣材料的所謂介電常數(電容率)。平行板電容器的電容可由C=ε0kA/d(1.6)得出。公式中,C表示電容量,單位是法拉;A是任意板子的表面積,單位是平方米;d是2板之間的距離,單位是米;ε0是真空中的介電常數(電容率);k是2板之間絕緣材料的介電常數。注意到C隨著k的變化而變化。如果在橋路中使用2塊在各個維度上都相同的平行板電容器,一個電容器(C1)的2板間是空氣(k非常接近1),或者更好的情形是2板之間為真空(k≡1);另一個電容器(C2)的2板之間是待測的絕緣材料,此種材料的k值等于C2/C1,并且在平衡狀態下可以直接由R3/R4得到。

在這個實驗中,將標準電容器作為C1,電容未知的電容器作為C2,用十進制電阻箱作為電阻R3,R4,這樣就可以通過調節R3,R4使電容橋達到平衡狀態。未知電容可以通過已知的電容C1和從電阻箱上讀出的R3,R4計算出來。2個未知電容器的電容也可以用同樣的方法測得。接下來,通過對這些電容器的串聯或并聯電容的測量,可用來驗證等式(1.4)和等式(1.5)的準確性。

2 實驗材料

標準電容器(C1),適用范圍0.1 μF～1.0 μF;2個電容未知的電容器(C2),適用范圍0.1 μF～1.0 μF;十進制電阻箱(1 000 Ω);十進制電阻箱(10 000 Ω);聲頻信號發生器;耳機或高阻抗耳機。

3 實驗步驟

1)首先將耳機與信號發生器的輸出端直接相連。打開信號發生器,調整輸出水平至聽起來比較舒服,然后調整信號發生器的頻率至最佳值,這時耳機里聽到的聲音為最大。耳機的頻率反應范圍是有限的,并且在人類聲音控制范圍內最靈敏。所要做的就是找到自己所用耳機最靈敏時的頻率,這樣才能使其作為最好的零位檢測器來使用。記住要通過調節R3,R4以確保耳機里聽不到聲音。耳機越靈敏,調整得就越精確。對于普通的耳機和通訊設備(非高保真的耳機),最佳頻率是在800 Hz～1 000 Hz。

2)按照圖1b所示把電容橋路連接好。將10 000 Ω的十進制電阻箱作為R3,并調至200 Ω;把1 000 Ω的十進制電阻箱作為R4。將標準電容器作為C1,用其中一個電容未知的電容器作為C2。把信號發生器的輸出調至最大,檢查一下它是否還處于步驟1)中所確定的最佳頻率狀態,并且聽耳機里的音調。將R3設在200 Ω,R4調至最小(僅能聽得見信號)。記錄下在R3以及標準電容C1值下所得到的數值。

3)換上另一個電容未知的電容器作為C2,重復步驟2)。記錄下這次R4的值。

4)將這2個電容未知的電容器串聯在一起作為C2,重復步驟2),同樣記錄R4的值。

5)將這2個電容未知的電容器并聯到一起作為C2,重復步驟2),再一次記錄R4的值。

4 實驗數據

R3的值( );標準電容器(C1)的值( )。表1為實驗數據記錄表。

5 計算

由實驗步驟2和3計算出每一個未知電容器的相應電容。注意:如果用普通工業電容器作為未知電容,它們的標稱值會標注其上,所以能夠與實測的數值進行對比。不能期望會絕對一致,原因在于這些電容器有±10%的容許誤差,或者更多的誤差是來自其標稱值。■

(作者單位:教育部教學儀器研究所)