淺析初中數學函數教學中思維能力的培養

董愛國

數學思維是人腦和數學對象相互作用并按一定的思維規律認識數學規律的過程。數學思維實質上就是數學活動中的思維,初中階段的函數概念是學生第一次接觸的內容,而且貫穿于初中及高中數學的始終,所以教師應該抓住這部分知識的特點,使學生認識到函數在探索具體問題的數量關系和變化規律中起著很重要的作用。

一、函數數學中抽象概括能力的培養

培養學生數學概括能力首先要明確概括的主導思路,引導學生以現有的知識為基礎,去猜測、去發現,要在關鍵問題上放手,讓學生開動腦筋,體現一個概括的過程。

學生數學概括能力水平,可按四項指標來確定:一是對直觀的依賴程度;二是對函數的實際意義的認識;三是對各類函數的理解;四是對函數的歸類能力;老師要注重在關鍵問題上進行設問,引導學生發現解決難點的方法,點撥、指導他們調整認知結構從而使其向高層次發展。如17.3《一次函數》這節課,首先向學生介紹正比例函數y=kx的概念、特征及性質等,然后推廣到一次函數y=kx+b的概念、特征及性質。始終貫穿著一條主線是:從特殊到一般,注重正比例函數與一次函數的區別與聯系。因此,概括過程的主導思路應遵循著從特殊到一般的程序,圍繞前后兩種方法的本質聯系和區別來展開。

其次,培養學生的概括能力要大力培養形式抽象和根據假定進行概括的能力。培養學生形式抽象應幫助學生揭示數學問題同實際問題的聯系,在發展思維抽象成分的同時,使具體形象思維不斷得到充實、改善。揭示數學問題同實際問題的聯系主要通過三個方面進行:

一是從現實情景和實際問題出發,引入數學概念、定理和方法。

二是注意闡釋數學概念的幾何和物理意義。

三是運用數學的概念、定理方法解決有關的實際問題。

現在許多商業行為與數學計算有關,如果把這些實際問題讓同學們與數學知識聯系起來,不但可以提高學生的學習興趣,還可以培養他們的抽象、概括能力。

例如:某超市打出優惠牌子上面說:購買茶壺、茶杯可以有兩種優惠方法:⑴是買一送一(即買一只茶壺送一只茶杯)。⑵是打九折(即按購買總價的90%付款),前提條件是購買3只茶壺以上,這兩種方法有區別嗎?到底那一種便宜呢?這仿佛是一道二選一的選擇題,由此,我讓同學們與函數關系聯系起來進行聯想。

假定每只茶壺20元,每只茶杯5元。經過討論同學們對這個問題進行分析:假定某顧客要買4只茶壺,那么買幾只杯子最合算呢?

解:當然杯子不少于4只。設買茶杯x只付款y元,x＞3,且x為自然數。

用第一種方法付款:

y₁=4×20+(x-4)×5=5x+60;

用第二種方法付款:

y₂=(20×4+5x)×90%=-4.5x+72,接著要比較y₁、y₂的相對大小。

設d=y₁-y₂=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12

然后進行討論:

(1)當d＞0時,0.5x-12＞0,即x＞24;

(2)當d=0時,x=24;

(3)當d＜0時,x＜24。

綜上所述,當所需買的杯子多于24只時,方法2省錢;正好買24只茶杯時,兩種方法優惠后價格相同;購買茶杯的只數在4至23只之間時,方法1便宜。

本題就是利用一次函數解決的實際問題。學生根據題設數量關系,通過概括總結出y與x之間的函數關系,使問題得以解決。解題過程體現了思維的探索性。

最后,培養學生根據假定進行概括的能力,有三個培養措施:(1)分階段培養。(2)在例題教學中,重視課題分類和預想解題方案,以便讓學生熟練掌握基本題型、思路和方法,并幫助他們揭示解題思維的過程。(3)為學生進行概括提供豐富恰當的材料。材料豐富是數量的要求,如果數量太少,學生感知不充分,難以鑒別各對象的要素也不足以通過分析、比較、區分一類對象的本質屬性和非本質屬性,從而使概括不準確。材料恰當是指材料是否有代表性,材料的本質屬性是否突出,直接影響學生概括能否成功。

二、函數教學選擇判斷能力的培養

選擇、判斷能力是數學創造能力的重要組成部分。選擇判斷不僅表現為對數學推理的基礎過程及結論正誤的判定,還是表現為數學命題、事實、數學解題思路、方法合理性的估計以及在這個估計的基礎上作出的選擇,判斷能力實際上是思維者對思維過程的自我反饋能力。

思維的批判性,它表現為善于獨立思考,善于提出疑問,能夠及時發現錯誤,糾正錯誤。能夠在解剖數學問題的過程中不斷總結經驗教訓,進行回顧和反思。自覺調控思維進程,自我評價解題思路和方法。辨別正誤,排除障礙,尋求最佳答案。具有選擇判斷能力的學生,在判斷選擇中較少受表面非本質因素的干擾,判斷的準確率較高,判斷迅速,對作出的判斷具有清晰的認識,能區分邏輯判斷和直覺猜想,他們具有明顯的追求最合理的解法,探究最清晰,最簡單同時也是最“優美”的解法的心理傾向。

學生對函數知識的掌握離不開數學的選擇判斷能力。在這里,教師可以通過對函數正反兩方面的變式題組與問答,讓學生解答與判定,是有效培養選擇判斷能力的方法。

三、函數教學探索能力的培養

數學探索能力是在抽象概括能力、推理能力、選擇判斷能力基礎上發展起來的創造性思維能力,探索的過程實質上是一個不斷提出設想,驗證設想,修正和發展設想的過程,在數學中,它表現在提出數學問題,探求數學結論,探索解題途徑,尋找解題規律等一系列有意義的發現活動之中,而數學探索能力就集中地表現為提出設想和進行轉換的本領。

在函數教學階段,數學探索能力的培養主要是體現在課題學習中。學生在趣味的課題學習中將討論一些具有挑戰性的研究課題,發展應用函數知識解決實際問題的意識和能力,同時,也會進一步加深對函數知識的理解,認識變量之間的關系和變化規律。例如:

要用總長為20米的鐵欄桿,一面靠墻,圍成一個矩形花圃。怎樣圍法,才能使圍成的花圃面積最大?

A同學取一些特殊值進行嘗試,她設矩形花圃的垂直于墻的一邊AB的長為x米,先取x的一些值,算出矩形的另一邊BC的長,進而得出矩形的面積y平方米。得到下表:

她又取了小數;當AB=4.5米時,BC=11米,面積為49.5平方米<50平方米;當AB=5.5時,BC=9米,面積仍為49.5平方米<50平方米。結合上表,她猜測出當AB=5米,BC=10米時,花圃的最大面積是50平方米。

B同學的設法與A的相同,他發現當x的取值發生變化時,y值也隨之變化。所以他列出了一元二次函數y=x(20-2x),然后求其最大值是50平方米。那么B對這個主題的探索,進一步豐富了自己的函數思想,用函數知識解決實際問題,增強了數學探索能力。

從他的解題過程可以看出:一是經歷“問題情境——建立模型——求解——解釋與應用”的基本過程;二是體驗數學知識(本課題主要是函數知識)之間的內在聯系,逐漸形成對整體的認識;三是獲得一些研究問題的方法的經驗,發展了思維能力,加深理解函數知識;四是通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷,增進應用數學的自信心。

四、結束語

數學的知識體系實質上就是用邏輯推理的方法構成的命題系統,是尋找變量之間的變化規律的過程,是運用邏輯思維抽象概括的過程。因此,通過以上這些能力的培養,學生進一步豐富自己的空間觀念,體會函數思想以及符號表示在實際問題中的應用,進而體驗從實際問題抽象出數學問題、建立數學模型、綜合應用已有的知識解決問題的過程。

作者單位:江蘇省姜堰市葉甸中學