幾道難倒數(shù)學的小學數(shù)學題

肖鑒鏗

2007年7月,筆者應邀為江西省農村小學骨干教師培訓班開專題講座,有機會比較系統(tǒng)地閱讀了由義務教育數(shù)學課程標準研制組組編的、經全國中小學教材審定委員會2004年初審通過的、由北京師范大學出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》1-5五年級中的“統(tǒng)計與概率”內容,發(fā)現(xiàn)其中有些題目不僅小學生解答起來十分困難,就連我們這些數(shù)學教師也一概會被難倒。我這樣說絕非危言聳聽,因為這些題從根本上難倒了數(shù)學,所以必然令所有數(shù)學教師及一切數(shù)學研究人員一籌莫展。

現(xiàn)將這幾道題目逐一抄錄于下,并稍加評析,以求教于廣大同仁。

題1.“要調查班里同學的生日在什么季節(jié),說說你想怎樣調查。”

接著,教科書以表格的形式告訴學生:“三、四、五月是春季;六、七、八月是夏季;九、十、十一月是秋季;十二、一、二月是冬季。”并要求學生調

查完后,在格子圖中涂色。最后要學生回答下列問題:

“(1)哪個季節(jié)過生日的同學最多?

(2)夏季和冬季過生日的同學共有幾名?

(3)如果今天恰好有一個同學沒有來,猜猜他最有可能在哪個季節(jié)過生日?

(4)從圖中你還能發(fā)現(xiàn)什么?”

(見二年級上冊第90頁九、統(tǒng)計與猜測)

其中第(3)題確實令我百思不得其解。

學生曠課,其原因多種多樣:體弱多病者曠課,很可能是本人病臥在床;身體健壯者曠課,可能本人沒病,而是家長突發(fā)重病,要在家照顧。曠課的原因還有可能是家庭突遭失火、失竊等不幸。自然災害也有可能導致學生曠課。比方說,突降暴雨,山洪暴發(fā),渡口停渡,或山體滑坡,公路阻塞等,均會影響學生按時到校上課。品德高尚的孩子。一貫遵守紀律,這次突然曠課,有可能是在上學途中學雷鋒做好事:或把迷路的小孩送到派出所,交給民警叔叔,或將昏倒在地的老人送到醫(yī)院搶救,因此耽誤了時間。經常違紀的孩子,此番又曠課,就很有可能是躲進哪家網吧去玩游戲了,不舍晝夜,難以自拔……

總之,曠課的原因五花八門,還真是不好猜哩!

現(xiàn)在時興“開放型”題目,希冀能通過這類題目把孩子們的思想搞活,因而題目的答案不唯一,也不足為奇。可奇怪的是:本題并不要求學生去猜曠課者曠課的原因,而是要大家去猜這名曠課學生“最有可能在哪個季節(jié)過生日”?這一問還真把我給問懵了,使我大有“連接斷開”的感覺:“曠課”與“生日”,這二者如何搭得上界?

我手頭上沒有與之配套的“教師用書”,無法明白編者的意圖。在萬般無奈的情況下,只好也來個猜測:莫非編書的老師是要大家猜這名曠課的同學正躲在家中過生日?否則,人們如何能由曠課這一現(xiàn)象推斷出曠課者的生日最有可能在哪個季節(jié)?常言說得好:“自古華山一條路”。看來這就是解答本題的唯一思路!

想了老半天才走上了正道,真讓人有一種“千里來龍,至此結穴”的感覺。我一方面為自己的愚鈍感到慚愧,一方面又為自己具有如此豐富的聯(lián)想能力而慶幸。不過總體的效果是“我樂不起來了”。與其說自己是“茅塞頓開”,倒不如說是“一頭霧水”。我真搞不懂了,現(xiàn)在竟然是用這種辦法培養(yǎng)孩子的思維能力?!

眾所周知,目前城鄉(xiāng)差別依然存在。城里的孩子過生日,多半可能會買個生日蛋糕,了不起晚上再舉行個生日家宴。農村的孩子,有的連生日蛋糕都未見過,一碗雞蛋煮面條就算是生日的美味佳肴了。但無論哪種情形,過生日均不可能導致曠課。我當教師已近半個世紀,像這種因過生日而曠課的事不僅從未見過,而且也從未聽過!硬要學生在“曠課”與“生日”這兩個風馬牛不相及的事物中找出其聯(lián)系,不覺得太離譜了嗎?

教科書不僅是知識的載體,更是師生進行教學活動的主要依據(jù)。真希望像這種荒誕不經的題目不要在教科書中出現(xiàn)。

題2.“小熊冷飲店又該進冰糕了,小熊翻開了商店本周前三天賣出冰糕的情況:星期一:8箱,星期二:7箱,星期三:9箱。小熊想:今天我進多少箱冰糕合適呢?你能幫他解決嗎?”

(見三年級下冊第71頁六、統(tǒng)計與可能性)

本題中本周前三天的冰糕銷售量是已知條件,但據(jù)此如何能確定“今天”(課本中未明確是指星期四,筆者猜測是指星期四)的進貨量呢?根據(jù)題目條件,可以求出本周前三天銷售量的平均數(shù)。平均數(shù)是“統(tǒng)計概率”中的一個重要的概念,猜測編者的意圖,很可能是要考學生對“平均數(shù)”的應用。那么,我們是否應當建議小熊“今天”就按這個平均數(shù)進8箱冰糕呢?這樣做理由充足嗎?

從數(shù)學的角度看,如果有一個數(shù)列,其前三項依次為8,7,9,而且告訴我們:該數(shù)列從第四項起,每一項都是前三項的平均數(shù),則第四項為8肯定是正確的。只要再告訴我們:小熊冷飲店本周每日銷售的冰糕箱數(shù)恰好符合這個數(shù)列的規(guī)律,那么,“今天”進8箱冰糕就毫無疑義。只可惜題中并無這一條件,所以“今天”進8箱冰糕,理由是不充足的,平均數(shù)8充其量只是一個參考數(shù)據(jù)。

實際上,冰糕作為一種具有防暑降溫功效的特殊食品,其銷售量主要受制于氣候。如果天氣預報表明,星期四將是晴熱天氣,氣溫比前三天更高,則星期四小熊店冰糕進貨箱數(shù)不僅應超過前三天的平均數(shù)8,而且還理所當然地應超過前三天的極大值9。說不定進11箱、12箱都供不應求。反之,如果天氣預報星期四將受臺風影響,降雨、降溫,則這天的冰糕即使只進3箱、4箱也未必賣得掉。

此外,顧客源也是影響冰糕進貨量的重要因素。比方說,小熊冷飲店坐落在某所小學附近,該校學生是其主要的顧客群。又知該校星期四將在離學校較遠的市體育場舉行田徑運動會。那么即使這天天氣晴熱,小熊冷飲店的冰糕也不宜多進,因為學生們不會中途從體育場跑到小熊店里來消費,他們會在附近的攤點上購買冷飲。

當然,具體問題還要具體分析。倘若小熊能與校方事先商定,運動會期間的冰糕由他的冷飲店供應,他會負責將冰糕送到運動會現(xiàn)場去,則星期四小熊可放量進貨。而究竟該進多少,應根據(jù)該校參加運動會的人數(shù)進行估算。說不定在這種情況下,冰糕進貨的箱數(shù)遠不止前三天的平均數(shù)8。

影響小熊冷飲店星期四冰糕進貨量的因素還會有許多,但我們就此打住,不再討論。因為我們畢竟是在討論數(shù)學問題,而不是研究小熊的生意經。如果此題的編排意圖,果真是要讓學生建議小熊按前三天冰糕銷售箱數(shù)的平均數(shù),在“今天”進8箱冰糕的話,那無疑是把復雜的問題簡單化了。依我看,就數(shù)學題而言,本題實際上是一道無解之題。

記得有一則古老的歐洲笑話,說的是有這樣一道數(shù)學題:“一艘船上載了75頭牛,32只羊,問船長多少歲?”當美國人把這道無解之題拿給孩子們做時,居然有許多美國孩子都算出了答案。有答“107歲”的,有答“43歲”的,還有答“53.5歲”的。其中答“43歲”的人最多。只有8%的人答“做不出”。這一測試結果曾讓美國人深感憂慮,美國數(shù)學家匈菲爾德(A·Sheenfeld)就感嘆道:“是不是我們的教育把人越教越蠢了?”

我們今天似乎也面臨與美國人同樣的問題,只不過我們的形勢更加嚴峻:美國孩子只不過極少一部分人在課外接受了一次一道無解題的測試,而我國孩子卻要在課堂上面對這類無解之題。但愿我國數(shù)千萬乃至上億的孩子中,有人能夠理直氣壯地對老師說:“這道題不能做!”并且,持這種見解的孩子的數(shù)目不低于總人數(shù)8%。

題3.某足球隊想引進一個前鋒。已知甲、乙、丙三名運動員在最近5個賽季進球數(shù)如下表所示,這個足球隊該引進哪個運動員?

(見三年級下冊第71頁六、統(tǒng)計與可能性)

解這道題,首先應觀察這三名運動員在最近5個賽季中的表現(xiàn)。由于除甲外,其余兩人都未踢滿5個賽季,所以不能由進球總數(shù)多少來衡量其球技之高低,而應考察他們在每個賽季進球數(shù)的平均數(shù)。不難算出表中三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為21、24、22。這表明甲平均每個賽季進球21個,乙平均每個賽季進球24個,丙平均每個賽季進球22個。從“平均數(shù)”這一指標看,乙的表現(xiàn)無疑最佳。由此,我揣測此題的答案就是:這個足球隊該引進運動員乙。

然而,在現(xiàn)實生活中,一個足球隊引進運動員,是一件十分復雜的事情,僅僅依據(jù)題中5個賽季的進球數(shù)作決定,是遠遠不夠的。筆者只是一名教師,沒有當領導引進人才的經驗。但從常理上想,引進一名運動員絕不會只看他的運動技能高低。組織上應對其政治思想、道德人品、性格特點、意志品質、人際關系、團隊精神、生活作風、健康狀況、文化素養(yǎng)、個人愛好、運動潛力、歷來表現(xiàn)等作出全面調查。當數(shù)名候選者的條件不相上下時,還應考慮引進所需經費間的差異以及候選者向隊里所提條件之高低,甚至還應預測誰與本隊的關系最融洽,誰引進后發(fā)揮的作用會更大。

總之,引進運動員,即使對于該足球的領隊、主教練,乃至上級主管部門的黨政領導來說,都絕非一件能輕易辦好的事。而現(xiàn)在卻把它編進小學三年級的數(shù)學教科書,要一些10歲左右的小孩運用數(shù)學的知識即席作答,當場搞定,豈不有點滑稽?莫說剛學會計算平均數(shù)的十齡童力所難及,依我看,縱然是專攻概率論的資深數(shù)學家也無能為力。原因很簡單:因為這壓根兒就不是一個數(shù)學問題!

題4.學校舉行乒乓球決賽前,公布了參加決賽的小明、小強兩名同學的資料。

(1)你認為本次決賽中,誰獲勝的可能性大些?與同學說出你的理由。

(2)如果學校要推選一名選手參加本區(qū)乒乓球選拔賽,你認為推薦誰比較合適?(見五年級上冊第85頁六,可能性大小)

本題之第(1)小題要求學生根據(jù)所公布的資料,推斷小明與小強在決賽中誰獲勝的可能性更大。其實,從資料上看,二人之實力相當,令人很難分出高下,學生必然難以作答。

退一步說,即使二人以往的水平相差懸殊,也不能作為此次決賽勝負的依據(jù)。因為以往畢竟只是以往,“士別三日,當刮目相看。”事物總是處于變化與發(fā)展之中,未必是強者恒強,弱者恒弱。事實上,影響比賽勝負的因素很多,諸如雙方運動員近期的健康狀態(tài)、體能狀態(tài)、競技狀態(tài)、心理狀態(tài)等均是。而在對這一系列重要信息一概未予披露的情況下,即要求學生在即將舉行的決賽中,預測誰獲勝的可能性更大,還要求說出判斷的理由,實在是沒有道理,只能視之為強人所難和慫恿輕率。

再退一步說,即使題中公布了小明與小強的所有相關信息,決賽的勝負仍然難以預料。賽場上瞬息萬變,臨場發(fā)揮往往最為關鍵。各種賽事中,弱者戰(zhàn)勝強者,新手將種子選手淘汰出局之事屢見不鮮。可見比賽之勝負確實難料。

只要不作弊,相信世界上賭球、賭馬、賭牌等一切賭博活動中的頂尖高手,無人敢稱自己“穩(wěn)操勝券”。這是為什么呢?因為任何博弈的結果都是隨機事件,而隨機事件的本質屬性是:一次試驗,結果不定;大量試驗,方顯規(guī)律。

本題之第(2)小題,要求學生回答:“如果學校要推選一名選手參加本區(qū)的乒乓球選拔賽,你認為推薦誰比較合適?”我認為這個問題根本就不該提,因為推薦誰都不合適。在體育賽事中,最忌諱的就是“推薦”!體育運動崇尚奧林匹克精神:“公平競爭”,“更高、更快、更強。”要分出高下、決出雌雄,最公平、最合理的辦法就是光明正大地比賽,任何形式的“推薦”都是與奧林匹克精神背道而馳的。終不成奧運會冠軍也要由長官圈定或民選產生?

第(1)小題的預測已與數(shù)學規(guī)律不符,第(2)小題的推薦更與奧林匹克精神相悖,但愿在修訂后的小學數(shù)學教科書中,不再出現(xiàn)這類題目。

本文寫到這里,我們已經看到,上述題目的確把我們逼到了一個尷尬的境地。從表面上看,它們好像都是些數(shù)學的應用問題,小學生們只要用剛剛學到的知識,就能輕松地加以解決。但實際上,它們都是非數(shù)學問題,其中一些甚至是相當復雜的、綜合性很強的社會問題,它們無法被抽象成數(shù)學問題。題中雖然也有一些數(shù)據(jù),但這些數(shù)據(jù)對問題的解決起不到決定性的作用,任何人都無法從數(shù)學的角度來解決它們。它們是一類名副其實的難倒數(shù)學的小學數(shù)學題,于是也就順勢難倒了所有的數(shù)學教師和數(shù)學工作者。

早在20世紀50年代末,華羅庚先生即在《人民日報》上撰文疾呼:“大哉數(shù)學之為有!”指出:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,日用之繁”,無處沒有數(shù)學。時至今日,數(shù)學之應用越來越廣泛,這些都逐漸成為人們的共識。但值得注意的是:“生活中有數(shù)學”并不意味著“生活即數(shù)學”;“數(shù)學無處不在”也不等同于“任何問題都是數(shù)學問題”,更不能誤認為“數(shù)學能解決任何問題”。

筆者衷心地希望,我廣大數(shù)學教育界同仁,在讓孩子感受“數(shù)學就在我們身邊”以及“生活中處處有數(shù)學”的同時,千萬莫把數(shù)學庸俗化,莫讓孩子們誤以為只要學了那么一星半點的數(shù)學知識,就能君臨天下,就能俯瞰世界,就能解釋人間的任何現(xiàn)象,就能解決世上的一切問題。世界畢竟沒有這么簡單,我們也絕不能把我們的孩子教得越來越蠢,絕不能把我們的孩子教成頭腦簡單的人!