淺談數學解題

顧仁岳

一、數學解題策略

數學問題的解題策略是指探求數學問題的答案時所采取的途徑和方法，其方法是有層次性的，解題策略是最高層次的解題方法，是對解題途徑的概括性的認識。常見解題策略有枚舉法、模式識別、問題轉化、中途點法、以退求進、推進到一般、從整體看問題、正難則反等。數學教師應該加強對學生解題策略的指導和策略性知識的教學。二者相輔相成，缺一不可，離開了策略性知識的教學，學生的解題策略就無法構建，離開了解題，策略性知識就失去了載體。

二、數學解題教學的認識

數學解題教學中我們要認清，”解題教學的實質是什么?”這也是數學解題教學中的一個基本問題。因為對于一個訓練有素的數學教師來說，形成一個正確、合理的解題教學認識，這對于從較高角度認識解題過程、弄清解題本質是非常必要的，也只有這樣，才會在解題教學中掌握解題規律、形成解題經驗、提高解題能力。

從數學教學看，由于數學本身具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性等特點，在教學中只單純地講解定義、定理和公式，很難取得理想的效果。因此，有經驗的教師，總是通過富有啟發性的問題來進行教學。通過解決各種類型的問題幫助學生加深對基礎知識的理解，培養學生的邏輯推理能力，靈活運用知識分析問題、解決問題的能力。可見，解題教學是數學教學過程的一個重要組成部分。

從數學學習看，要想真正搞清一個數學概念的實質，掌握定理、公式中的條件、結論的含義及它們之間的聯系，只靠單純地背誦是做不到的。數學學習較好的學生，都會以極大的熱情去認真解題，通過解題進一步領會、掌握各種概念、定理、公式和法則，提高自己的技能技巧，鞏固所學的知識。所以解題又是提高學習效果不可缺少的一個環節?？傊瑪祵W解題在數學學習、數學教學以及數學研究中都占有重要的地位。

事實上，解題就是解決問題，即求出問題的答案，這個答案在數學上也叫“解”，所以，數學解題就是求出數學問題的解。著名數學家、教育家波利亞認為”掌握數學就是意味著善于解題”，他還強調指出：”中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練”?；A知識要通過解題實踐來消化，基本技能要通過解題實踐來形成，解題方法要通過解題實踐來強化，數學思想要通過解題實踐來培養，數學觀念要通過解題實踐來深化，思維素質要通過解題實踐來優化，因此，解題教學在數學教學中舉足輕重。

三、思考

綜觀有關解題研究的論述，無論是國外的研究還是國內的研究，在解題理論研究上較多，在解題教學實踐上的研究較少，比如：一道題我們該如何教?為什么這樣教?我們應教給怎樣的學生?這些方面研究較少。

1解題教學研究中存在的問題

(1)有不少人認為，隨著數學內容的學習，數學知識的豐富，解題方法可以自然而然地掌握、解題能力可以自然而然地產生。解題理論的研究純屬多余。而來自學生的情況卻是：許多人學了課本內容卻不會解題，還有的人解了許多題卻說不清思路。可見，再豐富的經驗也無法代替理論，缺乏理論指導的實踐常會流于盲目。

(2)有些傳統題目十幾年乃至幾十年無任何改進，從這本書抄到那本書，局部上甚至有流行的錯誤。解題研究多探討”怎樣解”，較少問”為什么這樣解”，長期徘徊在一招一式的歸類上，缺少觀點上的提高與實質上的突破。因此，盡管有豐富的解題資料，卻始終未上升為系統的解題理論。

(3)將解題的研究歸結為應付升學的考查，解題的規律被簡單化為”對題型”、”套解法”，由此產生盲目的”題海戰術”。這種模式，將智力開發等同于技藝訓練，以考試為目標，以押題、猜題為主要手段，即使獲得了高分也扼殺了學生的能力。

2對數學解題研究的方向的思考

解題研究應該謀求和把握的兩個發展方向，數學解題研究既不應局限于一招一式的簡單模仿，也不應停留于技能技巧的反復訓練，而應提升到數學思想和數學方法的理論高度，更應進入到數學教學和數學學習的心理層面。在我看來，數學解題的深入研究應該從兩個方向上同時一展開：其一是數學知識方向，即解題的每步前進得以依賴的數學規則是什么，如一招一式、技能技巧所能憑借的數學知識是什么，就有學者在研究解題時發現，一些所謂的解題技巧并不是高不可測、深不可究的認識對象，也不是妙手偶得、心血來潮的思維產物，在其背后其實就是不同數學知識之間的本質聯系。其二是學習心理方向，即學生解題的心理過程究竟如何展開，如題目已知信息如何啟動學生己有知識，如何調動學生解題經驗?題目的已知信息與調用的知識經驗如何相互作用?在其作用過程中受到哪些因素影響?情感因素在解題過程中是否維系、怎樣維系解題過程的具體展開?

3數學解題教學的哲學思考

反思我們為什么教數學?怎樣教數學?教給學生些什么?我們知道波利亞將學生依照未來的職業分為三類：數學家(包括理論物理學家、天文學家及某些專門研究領域里的工程師)約占1％，用到數學的人(工程師、科學家及一些社會科學家、數學教師、科學教師等)約占29％，不用數學的人(實業家、律師、牧師等)約占70％，他指出數學教育應當符合于兩個原則：

“第一，每一個學生應當能夠從他的學習中得到某些收獲而不管他以后的職業是什么。第二，那些在數學上表現出有一些資質的學生應當受到鼓勵和吸引，而不要由于拙劣的教育使他們嫌棄數學?！?/p>

“解數學題的能力，當然，依賴于某些有關的數學知識，除此而外，它還有賴于某種有益的思維習慣，某種一般性的我們在日常生活中稱之為常識，的東西?！边@種有益的思維習慣與常識，對于所有的學生(包括將來不用數學的人)，都是非常重要的，是應當具備的素質。而這，只有通過解題才能成為學生自己的東西。

對于僅占1％的未來的數學家，”將他們發掘出來是一件最重要的事情，假如他們選擇了一項錯誤的職業，那么他們的才能(現代社會在很多方面需要他們)將遭到浪費”，”中學教師對這1％能做到的最重要的事就是喚起他們數學上的興趣”，”解題便是通向數學的一條最重要的道路”。

正因為此，我們教師就應經常向學生提出以下的三個問題：你現在在干什么?(你能否時此作出精確的描述?)你為什么要這樣做?它事實上起到了什么樣的作用?

由此揭示中學數學解題教學的本質。數學解題教學究竟用什么方法?按照怎樣的途徑展開?