在初中數學教學中滲透和應用建模思想

李春月

數學建模是一種極為重要的數學思想方法,初中階段數學活動就是數學模型的建立與處理。在教學中,滲透和應用建模思想是每位數學教師的責任。

課程標準指出,“‘數與代數的內容主要包括數與式、方程與不等式、函數,它們都是研究數量關系和變化規律的數學模型,可以幫助人們從數量關系的角度更準確、清晰地認識、描述和把握現實世界”,“體會數學與現實生活的緊密聯系,增強應用意識,提高運用代數知識與方法解決問題的能力”,“在教學中,應注重讓學生在現實背景中理解基本的數量關系和變化規律,注重使學生經歷從實際問題中建立數學模型、估計、求解、驗證解的正確性與合理性的過程……”。現在強調數學建模,主張在數學教學中突出數學思想的來龍去脈,揭示數學概念和公式的實際來源和應用,恢復并暢通數學與外部世界的聯系,其依據就在這里。

那么,什么是數學模型呢?按照徐利治先生在《數學方法論選講》一書中的提法,可以做這樣的解釋:所謂數學模型,是指針對或參照某種事物的特征或數量相依關系,采用形式化的數學語言,概括地或近似地表述出來的一種數學結構。徐利治先生在該書中還對數學模型作了廣義解釋:凡一切數學概念、數學理論體系、各種數學公式、各種方程(代數方程、函數方程、微分方程、差分方程、積分方程……)以及由公式系列構成的算法系統都可稱之為數學模型。

數學是關于模式的科學,數與代數中有大量的規律、公式和算法。對于數與代數的學習來說,重要的是要讓學生學會探求模式,發現規律,而不是死記結論,死套公式和法則。在教學過程中,教師不是引導學生簡單地從幾個問題的例子作為靶子,直接得出概念、定律等,而是讓學生進一步思考這幾個問題是不是生活中的特例,大家的發現是不是具有普遍性,不妨把它作為一種猜想,要想驗證這個猜想,還需要大量地舉例。學生經歷猜想——舉例——驗證——得出結論這樣的探索過程。只有經過自己的探索,才能不僅“知其然”,而且“知其所以然”,才能真正獲得知識,懂得公式的意義,掌握公式的應用。學過的公式,即使忘記,自己還可以推出來;而且通過探求若干公式的活動,可以提高探索能力,舉一反三,探求新的公式,也有利于探索和掌握數與代數的運算和規律。讓學生運用所學知識,觀察、分析、測量、討論、建模、解決實際問題,使學生能夠透過紛繁復雜的現象抽象、概括其本質,嘗試將具體問題轉化為數學模型。建立一個問題解決的數學模型,通過對實際問題的信息進行分析處理,提出必要的假設,并進行數學的抽象與概括,從而建立起某種特定的數量關系,利用相關的知識使問題得到解決,形成數學建模思想。

數學建模作為一種思想方法,首先它可以與數學基礎知識的教學相依隨,經常滲透,逐漸升華。通過解讀信息,深刻分解實際問題的背景,挖掘實際問題的內在規律,明確所求結論和對所求結論的限制條件。第二,簡化信息。根據實際問題的特征和建模的目的,對問題進行必要簡化。抓住主要因素,拋棄次要因素,根據數量關系,聯系數學知識和方法,用精確的語言作出假設。第三,抽象成數學問題(即模型一)。將已知條件與所求問題聯系起來,將文字語言翻譯成數學語言,將生活問題抽象成數學問題。

當然,在基礎教學中,并不是用過多的有關數學建模的術語,而主要的還是通過具體問題的提出和解決過程讓學生體會到數學建模的思想。

若按初中數學體系分,有依據相等關系抽象成的方程模型,以解決利息和稅率、百分率、工程及勞力調配等問題;有依據平面幾何性質抽象成的幾何模型,以解決零件加工、殘輪修復、工程選點、道路設計及飛輪、皮帶、拱橋等計算的問題;對測高量距、航海、機翼、渠壩坡比、燕尾槽、屋架的計算等應用問題可建立三角模型予以解決;還可建立直角坐標系模型,以解決投物、射擊、噴灌等物體運動的軌跡有某種規律,或者變量的變化具有某種函數關系的實際問題;在市場經濟大潮中,人們更加注重對普遍存在的諸如造價最低,產出、利潤最大,風險決策、股市、期貨、開源節流、扭虧增盈、最優化等問題的研究,可透過實際問題的背景,抓住本質,挖掘隱含的數量關系,抽象成函數的(區間)極值(目標)模型等。

學生通過建模求解,體會到科學、正確決策的意義和作用,也體會到正確的決策離不開數學。在實際操作中,數學建模問題難易應適中,以創新性、現實性、真實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準,千萬不要搞一些脫離中學生實際的建模教學,題目難度要適度,這樣才能更好地使學生有參與建模教學的積極性,保持建模教學的活動,真正使建模為我所用。

(作者單位:甘肅省天祝縣新華中學)