淺談新課標(biāo)下數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題的教學(xué)

林瑞山

一、開(kāi)放性問(wèn)題的定義

開(kāi)放性問(wèn)題是相對(duì)傳統(tǒng)封閉問(wèn)題而言的。數(shù)學(xué)中的封閉性問(wèn)題一般指?jìng)鹘y(tǒng)教學(xué)中條件完備、結(jié)論確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題。而所謂開(kāi)放性問(wèn)題是指就問(wèn)題本身而言，或者條件是不完全確定的，或結(jié)論是多樣的，甚至沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，也沒(méi)有現(xiàn)成的解題模式可用，需要在解的過(guò)程中不斷完善或增添創(chuàng)設(shè)，其結(jié)論也是豐富多彩的、非單調(diào)的，其解題途徑、思路因人而異、靈活多樣。比如下面的幾個(gè)題目：①計(jì)算24×75。②邊長(zhǎng)為12的正方形可以分為幾個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形?③1800是哪兩個(gè)數(shù)的乘積?④邊長(zhǎng)為12的正方形可以分為幾個(gè)邊長(zhǎng)為整數(shù)的正方形?這里前面兩道題都是封閉題，后面兩道題且是開(kāi)放題。

二、開(kāi)放性問(wèn)題的特征和分類(lèi)

開(kāi)放性問(wèn)題最突出的特征是：①內(nèi)容、形式的新穎性；②問(wèn)題解決的發(fā)散性；③教育功能的創(chuàng)新性。開(kāi)放題的類(lèi)型大約可分為5類(lèi)：第一類(lèi)，條件開(kāi)放型，即問(wèn)題的條件不完備或滿足結(jié)論的條件不是唯一。例如：媽媽買(mǎi)了相同價(jià)格的糖，付了40元錢(qián)，售貨員找給她4元，你知道她買(mǎi)了幾盒糖嗎?這題中每盒糖的單價(jià)沒(méi)有給出，所以答案是多樣的。第二類(lèi)，結(jié)論開(kāi)放型，即在給定條件下，結(jié)論不是唯一的。例如：有一個(gè)棱長(zhǎng)為55厘米的正方體，將它沿某些棱剪開(kāi)，有幾種展開(kāi)圖?第三類(lèi)，策略開(kāi)放型，即思維策略與解題方法不是唯一的。例如：圍著火塘一圈一次可以烤10個(gè)紅薯，烤熟一面要5分鐘，烤兩面才完全烤熟。現(xiàn)要精選15個(gè)紅薯需要多長(zhǎng)時(shí)間烤熟?第四類(lèi)，綜合型，即條件、結(jié)論策略中至少有兩項(xiàng)是開(kāi)放的。例如：一個(gè)長(zhǎng)方形剪去一個(gè)角，剩下部分還有幾個(gè)角?第五類(lèi)，設(shè)計(jì)(實(shí)踐)型，需要用數(shù)學(xué)進(jìn)行計(jì)劃性的預(yù)測(cè)和規(guī)劃。例如：暑假到了，小明與兩個(gè)同學(xué)相約，到附近旅游城市(廣州、深圳)去3日游，得到了父母的同意，并答應(yīng)給他們800元錢(qián)。父母規(guī)定旅游時(shí)間不得超過(guò)3天、回家的時(shí)間不超過(guò)晚上10點(diǎn)，再給出兩城市際交通的火車(chē)、汽車(chē)時(shí)間表，票價(jià)和旅游點(diǎn)的門(mén)票，要求學(xué)生幫小明設(shè)計(jì)一個(gè)旅游計(jì)劃，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步查尋其他資源。

三、開(kāi)放性問(wèn)題的教育價(jià)值

開(kāi)放性問(wèn)題有許多獨(dú)到的教育價(jià)值。首先，它幾乎使每一個(gè)學(xué)生都有解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，能通過(guò)嘗試解決問(wèn)題去獲得一些知識(shí)或方法，從而使得“數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生”這一新教育觀念具備了一定的可操作性。其次，它可以引發(fā)課堂內(nèi)的數(shù)學(xué)交流，使得數(shù)學(xué)課堂成為真正學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的場(chǎng)所。通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流，大大加深對(duì)知識(shí)的理解。第三，開(kāi)放性問(wèn)題有利于因材施教。學(xué)生之間的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力差異是客觀存在的，為了在課堂上盡可能地照顧這種差異，已經(jīng)有過(guò)許多的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，如采用分層設(shè)計(jì)練習(xí)題的方法，即根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力，設(shè)計(jì)概念題、基礎(chǔ)題、提高題、綜合題等等，這樣做，教師的工作量大，實(shí)際上也難以做到。而開(kāi)放題由于答案不是唯一的，解答時(shí)，有些答案可能容易得到，有些答案卻難找到，有些解題者可能是盲目地瞎湊，找到一個(gè)算一個(gè)，而有些解題者則試圖尋找規(guī)律，有序地考慮問(wèn)題，盡可能避免答案的重復(fù)和遺漏如此等等，正是開(kāi)放性題目的這種多層次性，能適應(yīng)多層次的學(xué)生，為因材施教提供了很好的材料。開(kāi)放性題目還可以促進(jìn)學(xué)生智力因素與非智力因素的發(fā)展。因?yàn)橐腠樌亟獬鲩_(kāi)放性問(wèn)題，必須對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全方位、多角度的觀察、分析，充分揭示問(wèn)題的本質(zhì)特征，既要注意力集中，又要記憶力強(qiáng)，想象力豐富，思維敏銳；有些開(kāi)放性題目要長(zhǎng)時(shí)間鉆研，需要意志力和毅力，從而促進(jìn)非智力因素的發(fā)展。

數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新能力。激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)，這是一種新教育理念的具體體現(xiàn)。選擇數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題作為一切口，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的開(kāi)放化和個(gè)性化，從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

四、開(kāi)放性問(wèn)題的教學(xué)策略

1。開(kāi)放性問(wèn)題的教學(xué)要選擇好的數(shù)學(xué)問(wèn)題

開(kāi)放性問(wèn)題的構(gòu)建主要從兩個(gè)方面進(jìn)行：其一，是問(wèn)題本身的開(kāi)放而獲得新問(wèn)題。其二，是問(wèn)題解法的開(kāi)放而獲得新思路。好問(wèn)題的特征包括問(wèn)題的條件、結(jié)論、所描述的對(duì)象給解題者提供廣闊的思維空間，使他們有機(jī)會(huì)經(jīng)歷有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如觀察、猜測(cè)、檢驗(yàn)、修正、證明、推廣等，而且在活動(dòng)中需要使用基本的、重要的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法，好問(wèn)題最好能表現(xiàn)出層次性，使不同的學(xué)生都能思考并有所得。為了開(kāi)發(fā)好的開(kāi)放性問(wèn)題，可充分利用現(xiàn)有的學(xué)習(xí)素材，通過(guò)自我思考，與同事或?qū)W生合作來(lái)進(jìn)行。例如：教學(xué)二元一次方程時(shí)，可設(shè)計(jì)題目：“一個(gè)二元一次方程的解是x=4且y=5，試寫(xiě)出一個(gè)符合要求的二元一次方程。”又如教學(xué)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，可設(shè)計(jì)題目：“用多個(gè)相同的三角形，設(shè)計(jì)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度為60度的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形”。

開(kāi)放題的教學(xué)，也可以從教材上選取相關(guān)的習(xí)題加以擴(kuò)展，成為實(shí)際生活中的開(kāi)放題，作專(zhuān)題討論。初一下學(xué)期有這樣的一道例題：在甲處勞動(dòng)的有27人，乙處勞動(dòng)的有19人，現(xiàn)在另調(diào)動(dòng)20人來(lái)支援甲處和乙處，使甲處的人數(shù)是乙處人數(shù)的2倍，應(yīng)往甲、乙兩處各調(diào)多少人?改編為“開(kāi)放”例題：在甲處勞動(dòng)的有26人，乙處勞動(dòng)的有1 9人，現(xiàn)在另有9人在樹(shù)下休息，你將如何調(diào)配，才使甲處的人數(shù)是乙處人數(shù)的2倍。此時(shí)，學(xué)生如身臨其境的管理者與決策者，都在積極地想辦法，他們提出如下的方案：

①19-(26÷2)=6，乙處調(diào)走6人到樹(shù)下，樹(shù)下的人還是休息。

②26+19+9=54，54÷3=18，乙處調(diào)1人到樹(shù)下，再將樹(shù)下的10人調(diào)去甲處。

③26+19=45，45÷3=18，乙處調(diào)1人去甲處。樹(shù)下的人還是休息。學(xué)生習(xí)慣于用算術(shù)方法考慮問(wèn)題，能解決問(wèn)題當(dāng)然值得贊賞。但教師要引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法來(lái)解決，如上述方案③中：如何列方程呢?設(shè)乙處調(diào)x人去甲處，師生共同分析出：26+x=2(19-x)。進(jìn)而教師提出一種新的方案(如學(xué)生能提出來(lái)更好!)

④能否將樹(shù)下的9人“兵分兩路”，一部分人到甲處，另一部分到乙處呢?

解答如下：設(shè)從樹(shù)下調(diào)z人到甲處，那么調(diào)往的人數(shù)9-x，依題意得：26+x=2[19+(9-x)]，解得z=10，于是發(fā)現(xiàn)9-z=-1。發(fā)現(xiàn)此方程行不通(這也是提醒學(xué)生檢驗(yàn)的必要性。)

教師趁機(jī)提出問(wèn)題：須調(diào)來(lái)多少人支援，可使上述方案行得通呢?(即：把9改為別的數(shù)字試試來(lái))鼓勵(lì)學(xué)生多嘗試和調(diào)試，體驗(yàn)由失敗到成功的樂(lè)趣。他們提出把9改為12、15、30等等都行。教師亦可作分層教學(xué)的嘗試，讓一部分學(xué)有余力的學(xué)生引入字母a表示樹(shù)下的人數(shù)，探索必須滿足的條件，由方程28+z=2[19+(4-z)]，得x=4+2a／3。現(xiàn)在給a取值就減少了盲目性，要為3的倍數(shù)。更優(yōu)秀的學(xué)生甚至能得出：a還須不小于12。

2，開(kāi)放性問(wèn)題的教學(xué)要有效地組織學(xué)生進(jìn)行交流

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)，必須通過(guò)學(xué)生主動(dòng)的活動(dòng)，包括觀察、描述、操作、猜想、推理、交流和應(yīng)用等等，讓學(xué)生親眼目睹數(shù)學(xué)過(guò)程，身臨其境如何“做數(shù)學(xué)”。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。在教學(xué)中充分讓學(xué)生經(jīng)歷自主做數(shù)學(xué)的過(guò)程，只有通過(guò)學(xué)生之間，師生之間的交流，通過(guò)各種活動(dòng)，各種觀點(diǎn)之間的交鋒、思考、交流，才能有目的有意義地建構(gòu)屬于他們自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，獲得富有成效的學(xué)習(xí)體驗(yàn)生活。動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式。因此開(kāi)放性題目的教學(xué)中，教師應(yīng)大膽地把時(shí)間留給學(xué)生，放手讓學(xué)生討論。放過(guò)之后，也不能忽視收的作用，收就是要在教師的引導(dǎo)下集中學(xué)生的智慧，起到相互作用、相互補(bǔ)充、相互提高的作用。如：學(xué)校要圍一個(gè)面積為210平方米的長(zhǎng)方形花圃(長(zhǎng)、寬都是整數(shù))，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案。教學(xué)這一題時(shí)，先放手讓學(xué)生找答案，再由教師、學(xué)生一起觀察每一種答案與210的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。這樣的“一放”與“一收”，既重視發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，又不失教師的主導(dǎo)性。

因此，在開(kāi)放性問(wèn)題的教學(xué)中，教師必須充分發(fā)揮創(chuàng)造性，依據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、認(rèn)識(shí)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，給學(xué)生提供自主探索的機(jī)會(huì)。讓學(xué)生有觀察、描述、操作、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、分析、歸納、交流和應(yīng)用的過(guò)程，理解一個(gè)題目是怎樣提出來(lái)的，一個(gè)概念是如何形成的，一個(gè)結(jié)論是如何探索出來(lái)的，以及這結(jié)論是如何被應(yīng)用的。通過(guò)這樣，從而使學(xué)生的創(chuàng)新精神得到培養(yǎng)和落實(shí)。