主線控制　逐層總結　提高能力

王月琴

[關鍵詞]曲線方程；直角坐標系集合；約束條件；標準形式一般方法

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼]A

[文章編號]1004-0463(2009)05(A)-0052-02

學生學習的過程是學生能動地解決問題的過程，教師的職責不僅僅是給學生傳授教科書上的知識，更重要的是引導學生能動地解決問題，逐步達到自覺運用知識的水平，受心理素質和認知水平的限制，同一問題不同學生的理解程度是不同的，因而，如何把握這些教學中的客觀因素。有意識地選取素材，提煉主題，通過具體實踐，充分激發學生解決問題的能動性，刻意培養學生的心理素質，引導學生探求、總結解決問題的辦法，從而提高學生解決問題的能力，是教師永遠研究的課題，現結合解析幾何教材中求曲線方程這一問題進行討論。

在解析幾何中，課本上總結出來的求曲線方程的步驟是：

(1)建立適當的直角坐標系，用(x，y)表示曲線上任一點M的坐標；

(2)寫出適合條件尸的點肥的集合；

(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0為最簡形式；

(5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上。

根據情況可以省略步驟(5)，根據情況也可以省略步驟(2)，在課本所列的這些步驟中，條件“尸太抽象，可具體化為約束條件，在論證曲線與方程的關系時，使用集合形式便于表達這兩者之間的關系，在求曲線方程式時，主要由約束條件坐標化寫出方程，所以，可以把(2)(3)兩步合并成：把約束條件坐標化，寫出方程f(x，y)=0，于是可把求曲線方程的步驟概括為：

(1)建立適當的坐標系，設曲線上任一點M的坐標為(x，y)；

(2)把約束條件坐標化，寫出方程f(x，y)=0；

(3)化簡方程f(x，y)=0。

這三個步驟是簡約而具體的，但是，沒有經過實踐，學生無法理解每個步驟所示內容的深刻性，因此，本人結合作業有意識地給出以下三個類型的習題：

①點M到點A(4,0)和點B(-4，0)的距離之和為12，求點M的軌跡方程。

②兩條直線分別繞著定點A和B(AB=2a)在平面上轉動，并且轉動時，兩條直線保持相互垂直，求兩條直線的交點P的軌跡方程，(提示：以點A為原點，AB所在直線為x軸建立坐標系；以點z為原點，AB所在直線為X軸建立坐標系；以線段AB的中點為原點，AB所在直線為X軸建立坐標系。)

③兩個定點的距離為6。點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程。

大部分學生對①、②題完成較好，而解決③題時出現的問題較多，歸納起來有如下幾種情況：A沒有建立坐標系而解題，B以其中一定點為原點建立坐標系，C以線段AB的中點為原點建立坐標系。

建立坐標系的過程，實際上是選擇坐標系的過程，這是通過所給的三類題目的實踐得到的心得，故可把“建立”一詞理解為：為了解決問題，我們主動地去選擇坐標系，強調我們主動地去解決問題，為了很好地(以最簡單的形式)解決問題，需要選取適當的坐標系，“適當”的目的就是為了使方程簡單，所以“適當”的原則就是充分利用對稱性，這樣的說法旨在激發學生的能動性，從心理上減輕他們解決實際問題的壓力，提高他們實踐的主動性。

同時還有一個非常基本的問題，即同一圖形在不同的坐標系下，有不同的方程，既然圖形相同，為什么方程不同?(有意引導，主線控制)，顯然，這里所說的圖形相同是指圖形的形狀相同，但在不同的坐標系中，它們相應的位置是不同的，所以方程不同，可見方程除反映圖形的形狀之外，還反應了圖形的位置，可見幾何特征(圖形的形狀、位置)一定反應在代數特征上(方程的形式與系數)，反之亦然，第二次總結出求曲線方程的三個必要步驟：

(1)選擇適當的坐標系，設曲線上任一點M的坐標為(x，y)；

(2)把約束條件坐標化，寫出方程f(x，y)=0；

(3)把方程f(x，y)=0化簡，整理成最簡形式或標準形式。

這個步驟旨在引導學生理解課本上所列出的步驟，經過第二次總結后，又經歷了具體實踐，逐句逐詞推敲并總結心得，從而培養了學生閱讀理解、歸納總結、深化主題、完善表達的能力，并且又提出了新的問題：什么是標準形式?暫時告訴學生曲線的一般形式就是標準形式，在學習了圓的標準方程后，總結出標準形式的意義：

(1)標準形式能具體判定曲線的形狀與位置(代數到幾何的過程)；

(2)標準形式中的各系數都有一定的幾何意義(不變量)；

(3)滿足相應約束條件(圖形的形狀與位置)的軌跡就一定是這種形式(幾何到代數的過程)。

再反過來解釋化成標準形式的必要性：為確定曲線的形狀與位置，一定的形狀和位置的曲線都有相應結構的方程，為此，可在一定條件下進一步簡化求曲線方程的步驟：用待定系數法求曲線方程，必須強調的是：可用待定系數法求曲線方程的前提是已知曲線的形狀和位置，特別對于橢圓、雙曲線、拋物線，更要強調曲線的位置的重要性，即對稱軸必須與坐標軸平行或重合，這樣又體現了選擇適當坐標系的原則——充分利用曲線的對稱性，于是總結出求曲線方程的一般方法，方法一：題設給出的約束條件難以判定曲線的形狀，可按上述三個必要步驟求出曲線方程，方法二：題設給出的約束條件可以判定曲線的形狀，可用待定系數法求曲線方程，但要注意曲線的位置。

這樣，整個教學的過程貫穿著解析幾何的基本問題：幾何特征與代數特征的關系，并且以此為主線，分階段、分層次引導學生總結方法，這樣極大地激發了學生的能動性，使學生的能力和潛力得到了充分的發揮。