幾何教學中學生思維能力的訓練例談

喬興文

摘要:《數學課程標準》指出:“義務教育階段的數學課程,其基本出發點是促進學生全面持續、和諧地發展”,“使學生獲得對數學理解的同時,在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。”本文結合《三角形內角和定理》一課談談在幾何教學中進行創新思維能力訓練的一些做法:一、在幾何定理證明中引發、調動學生思維的積極性,具體做法為:利用定理證明的必要性,啟動學生思維;利用定理證明與發現的聯系,激發學生思維;二、在定理證明的思維中,探求開發學生的思維能力,具體做法為:遵循學生認知規律,深化學生思維;變換角度,激發學生思維;創設民主的教學氛圍,鼓勵學生創新思維。

關鍵詞:幾何教學思維能力訓練 例談

全日制義務教育《數學課程標準》指出:“義務教育階段的數學課程,其基本出發點是促進學生全面持續、和諧地發展”,“使學生獲得對數學理解的同時,在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。”在初中數學教育教學中,我們進行了一些有益的探索。本文結合《三角形內角和定理》一課的教學,談一談對學生進行思維能力訓練的做法,以供讀者參考。

《三角形內角和定理》是學生接觸較早的定理之一,其內容和應用早已為學生所熟悉。因此,教學中要重點解決的問題是定理的證明,在定理的證明中,學生將首次接觸和應用輔助線。于是在定理證明中“為什么要添加輔助線”和“如何添加輔助線”成為重中之重。通過“三角形內角和定理”的證明的具體教學實踐,感受幾何證明的思想,讓學生體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用,感悟數學中數形結合的思想,訓練學生的創新思維能力,成為幾何教學中探索的重要內容。

一、在證明幾何定理的實踐中,引發調動學生思維的積極性

1.引導分析幾何定理證明的必要性,啟動學生思維

在講授《三角形內角和定理》一課時,首先讓學生通過剪裁、拼接的方法,將三角形的三個內角拼成一個角,并量得該角度數,得出三個內角的和為180度。然后引出定理證明的必要性:(1)測量會產生誤差,通過觀察、度量、猜測得到的結論不一定正確;(2)剪裁、拼接有限個三角形,還不足以說明所有三角形都有同樣性質 ;(3)測量一些三角形內角和等于180度,可以作為數學發現的依據,但還不是數學證明,利用這種必要性,使學生產生疑慮,有疑慮,才能產生認知沖突,進而激發認知要求。

2.利用定理證明與發現的聯系,激發學生思維

講課時,先從學生已有生活經驗入手,讓學生體會生活中橋梁的重要性,同時引出搭建橋梁的注意事項,然后把生活中的橋梁向數學中的橋梁引申,借助剪裁、拼接三角形三個內角的過程分析,啟發引導學生初步體會輔助線在幾何證明中的橋梁作用。指導學生分析命題的條件和結論,條件相當于已知,結論相當于未知,指出已知和未知相當于河兩岸,輔助線是連接兩岸的橋梁。提問:“何處能提供180度”從而引發學生思維的發散和創新,學生容易想到“平角為180度”“平行線同旁內角和為180度”。然后教師引導學生分析:(1)如何添加輔助線(即如何架橋),明確添加輔助線的目的是將三角形三個內角向一個平角或互補的兩個角轉化。(2)在哪兒能添加輔助線(即在哪能架橋),教師組織學生剪裁、拼接三角形的三個內角,驗證三角形內角和為180度,很容易得知:可以選擇三角形的頂點、邊上或三角形內部、甚至三角形外部。教師應注意分層次引導學生自己發現地點選擇的多樣性。學生不僅容易將三個內角移到一個頂點上,也能將三個內角移成平行線的一對同旁內角。此時,抓住了定理證明的實質,這兩種思路都是利用平行線把分散的角相對集中起來,因而這兩種思路可以相互轉化,便把學生的思維引向了一個較高境界,引發了學生的自主探索。(3)輔助線有幾種添法(可架幾座橋),從地點上看可以有若干種,同時對平角或互補的選擇又有所不同。(4)哪種最簡捷(架哪座橋最省),讓學生體會數學中最優化思想,培養學生學數學,用數學的意識。

二、在探求定理證明思路中開發學生的思維能力

1.遵循認知規律,深化學生思維

學生通過回憶對三角形的三個內角的剪裁、拼接,很容易得出圖形.然后引導學生按圖形補畫線(輔助線),表現了學生會對直觀模型進行抽象提煉,會對新圖形進行嚴格的數學描述,學生的理性思維在實驗變論證、感性變理性、直觀變抽象的飛躍中得到了發展。教師指出,新補畫的線為輔助線,即聯系命題的已知和未知的橋梁。那么能不能通過只移一個內角得到三個內角和為180度,進而證明三角形內角和定理呢?得到從而引領學生掌握輔助線添加方法的多樣性,深化學生思維。

2.多角度變換,激發學生思維

學生回顧剪裁、拼接三角形三個內角為一個平角的過程,成功地找出了定理證明的思路后,及時引導學生找出在三角形邊上或三角形內部、外部添線的方法。繼續探索引出利用兩平行線同旁內角互補也可以證明,啟發學生對比發現哪種方法最簡捷,體會數學中的最優化思想,培養學生學數學、用數學的意識.

同學們經過比較得知,過C作CE平行AB,運用平行線內錯角相等、同旁內角互補,證明三角內角和定理過程最簡便;如果先延長BC,再過C作CE平行AB,運用平行線內錯角相等、同位角相等及平角定義,證明三角形內角和定理,圖形直觀,思維簡便。然后學生試寫出完整的證明過程。經過多方面探討,學生的發散思維能力得到了開發,學生探求定理證明的思路得到拓展,教學活動也達到了豐富多彩。

3.在民主的教學氛圍中,鼓勵學生創新思維

民主的教學作風,為學生提出問題,暴露思維過程提供了良好的教學氛圍,在學生探索過程中,有的學生發現,作∠ACE=∠B證不出∠ECD=∠A,教師可引導學生從反面理解不成功的理由,是這樣做得不到平行線。當學生提出作∠ACE=∠A再證∠ECD=∠B時需要∠ACD>∠A,(由于延長BC得到了∠ACD,默認了“外角大于不相鄰的內角”)。引導學生探究:從圖上看無論怎樣做CE均在∠ACD內部,若CE在∠ACD外部,則CE必通過△ABC內部與AB相交,這與CE平行AB矛盾。則CE一定平行于AB。進而得到∠A=∠ACE,∠B=∠BCE。這樣添加輔助線這個難點在討論探究中得到化解,一種富有創造性的思路在學生認識的不斷修正和完善中產生,經過訓練,創造性思維能力得到了有效培養。

參考文獻:

《義務教育數學課程標準》教育部編 2001年北京師范大學出版社

《新課程理念下的創新教學設計初中數學》孔凡哲編 2007年東北師范大學出版社

作者單位:河北省盧龍縣雙望鎮中學