淺談數學概念的教學

張勇赴

數學概念是一類對象空間形式或數量關系方面本質屬性的反映,是構建數學理論大廈的基石,是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎,是提高解題能力的前提,是數學學科的靈魂和精髓.高中數學課程標準指出:“高中數學課程應該返璞歸真,努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。數學課程要講邏輯推理,更要講道理,通過典型例子的分析和學生自主探索活動,使學生理解數學概念?結論逐步形成的過程,體會蘊涵在其中的思想方法,追尋數學發展的歷史足跡,把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態”。

實際教學過程中,許多教師都存在“重解題技巧教學。輕數學概念教學”的傾向,一些教師刻意追求概念教學的“最小化”與習題教學的“最大化”,并美其名曰“大容量、快節奏”。實際上這是一種應試教育思想指導下典型的舍本逐末的錯誤做法,致使學生在沒有理解數學概念的情況下,無法形成能力,只會盲目模仿老師對某些典型題的特定解法;一旦碰到新穎的題目就束手無策。在教學實踐中,筆者深切感受到:必須加強概念教學,唯有如此才可以夯實數學基礎,提高學生的解題能力,培養學生的邏輯思維能力,這是當前提高高中數學教學質量的“治本”之策。以下結合實踐談談概念教學的一些具體做法與體會。

一、從具體而直觀的實例中認識概念

數學概念的引入,應從實際出發,創設情景,提出問題。通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子,學生在對具體問題的體驗中感知概念,形成感性認識。通過對一定數量感性材料的觀察、分析,提煉出感性材料的本質屬性。如在“異面直線”概念的教學中,教師應先展示概念產生的背景,如長方體模型和圖形,當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時,教師告訴學生像這樣的兩條直線就叫做異面直線,接著提出“什么是異面直線”的問題,讓學生相互討論,嘗試敘述,經過反復修改補充后,給出簡明、準確、嚴謹的定義:“我們把不在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線”。在此基礎上,再讓學生找出教室或長方體中的異面直線,最后以平面作襯托畫出異面直線的圖形。學生經過以上過程對異面直線的概念有了明確的認識,同時也經歷了概念發生發展過程的體驗。

二、在尋找新舊概念間聯系的基礎上講清概念

數學概念具有很強的邏輯系統性,多數數學概念都是在原始概念的基礎上形成的。比如“單調遞增函數”的概念就是建立在“函數”、“區間”、“自變量”、“函數值”、“不等式”等一系列原有概念的基礎上,并加以邏輯推理而形成的。又如三角函數的定義,經歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程:(1)用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數的定義;(2)用點的坐標表示的銳角三角函數的定義;(3)任意角的三角函數的定義。由此概念衍生出:(1)三角函數的值在各個象限的符號;(2)三角函數線;(3)同角三角函數的基本關系式;(4)三角函數的圖象與性質;(5)三角函數的誘導公式等。可見,三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用。

如果學生對原始概念不清,新舊概念之間的聯系不明,對新概念的學習就會產生困難。另一方面,學生“獲得知識,如果沒有完滿的結構把它們聯系在一起,那將是一種多半會被遺忘的知識”。因此在教學中應首先講清相關概念,講明概念之間的聯系,幫助學生了解概念的體系。

三、從關鍵字、詞入手理解概念

一般來說,數學中的每一概念在下定義時,總是用最簡潔的語言、符號表述,給出概念后,應多角度、多層次地剖析概念,才有利于深刻地理解概念。通常應從以下三個方面進行“逐字逐句”地推敲:(1)找出概念中的“中心詞”,并分層確定“限定語”。以“直線的傾斜角”的定義為例,其“中心詞”顯然是“直線與x軸所成的角”,但對此有幾種限定:一是“直線向上的方向”,“x軸正向”;二是“最小正角”;三是補充規定:“當直線與x軸平行或重合時,傾斜角為0”。(2)特別注意分析概念中對范圍的約束。如“橢圓定義”中,要求“定值”必須大于“兩定點之間的距離”。(3)教學中要常常引導學生反問,如“橢圓定義”教學中,反問“若2a≤|F_{1F2|,動點軌跡會是什么樣的呢?”通過分析得:當2a=|F1F2|時,動點P的軌跡是線段F1F2,當2a<|F1F2|時,平面上不存在這樣的點。}

四、在實際應用中鞏固概念

學習數學概念是為了應用概念解決實際問題,概念的實際應用反過來也可以促進學生對數學概念的學習。通過數學概念的實際應用,可以幫助學生及時鞏固對數學概念的理解,培養學生重視概念學習的習慣,提高學生分析理解新概念,應用新概念解決實際問題的能力。如,當我們學習完“向量的坐標”這一概念之后,進行向量的坐標運算,提出問題:已知平行四邊形的三個頂點A、B、C的坐標,試求頂點D的坐標。學生展開充分的討論,不少學生運用平面解析幾何中學過的知識(如兩點間的距離公式、斜率、直線方程、中點坐標公式等),結合平行四邊形的性質,提出了各種不同的解法。有的學生應用共線向量的概念給出了解法;還有一些學生運用所學過向量坐標的概念,把點A、C的坐標和向量D聯系起來,巧妙地解答了這一問題。學生通過對問題的思考,盡快地投入到新概念的探索中去,從而激發了學生的好奇以及探索和創造的欲望,使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造。

除此之外,教師通過反例、錯解等進行辨析,也有利于學生鞏固概念。如奇(偶)函數是函數中重要的概念,課本中的定義正確簡練,但是在新授或高三復習時,發現有些學生對奇(偶)函數的內涵及判斷方法沒有完整領會,直接影響解題的正確率。原因之一是定義中由于沒有突出函數的定義域在研究函數的奇偶性中的作用,因而容易給人造成錯覺,以為只要形式上有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),f(x)就是奇函數或偶函數了。這時可以舉例,判斷函數f(x)=x^{2,x∈(0,2)的奇偶性,使學生進一步理解函數的定義域在判斷函數奇偶性中作用。}

總之,在概念教學中,要根據課標對概念教學的具體要求及有關概念的自身特點,靈活選用適當的教學方法,優化教學過程,使學生深刻理解和牢固掌握相應概念,同時也是提高教學效率,減輕師生負擔,提高教學質量的有效途徑。