從策略性知識的特點談解決問題策略的教學

沈　超

眾所周知，新課程教材中已不再有“應用題”的用語，這并不是因為教材中不再有這樣的題型，而恰恰相反，作為數學知識呈現與應用的主要方式，應用題在教材中隨處可見。當然，新教材已不再將應用題作為一種獨立的知識體系編排，而是作為解決問題的載體納入數學問題解決教學范疇，這大大超越了應用題作為“解題”的教學功能。這一變化體現了應用題教學價值觀的轉變，即從過去的學會“解題”，轉變到獲得“策略”，形成一般的解題能力——“讓學生經歷觀察、分析、操作、交流、實踐等學習活動，以及在這些活動中開展比較、綜合、抽象、概括等數學思維活動，積累解決問題的經驗，獲得用數學解決問題時廣泛使用的方法和策略。”

新課程對應用題教學的重新定位，使兒童學習應用題由過去的主要獲得“程序性知識”轉變為主要獲得“策略性知識”。然而，這樣的轉變被一些教師誤讀或不理解。

學習心理學將數學知識分為三類：陳述性知識、程序性知識和策略性知識。雖然，對“策略性知識”的界定有不同觀點，但公認的是，這種知識不同于前兩類知識的外在性，是數學學習活動本身在主體的內在反映。“策略性知識”（又稱認知策略）側重于數學學習或問題解決過程中蘊涵在“事實性知識”背后的內在方法，表現為學生對自己在解決數學問題時的信息表征、組織、貯存、提取方式及對思維過程的調節和監控。它主要有兩個特點：①作用方向不是“對外辦事”，而主要是“對內監控”。即策略性知識的作用對象不是外在的“數學事實”，而是主體的主觀內部數學信息加工過程。②基本功能是解決怎么辦，即如何學才最好、最有效的問題。比如，在解決應用問題時．運用何種公式（或數量關系式）、采用什么解題步驟與格式是陳述性知識和程序性知識解決的；如何有效地獲取數量信息、采取什么方式處理與分析數量信息間關系、建立何種有效的數學模型解決，以及解決問題方法的普遍意義等是靠策略性知識來完成的。

認知心理學認為，策略性知識的掌握需要經歷三個階段：一是了解階段。在這個階段，策略性知識以陳述性知識的形式被學生學習，學生首先需要理解有關概念、規則、事實和解決數學問題的步驟等，并納入到個體的知識結構中。二是知識轉化階段。這一階段通過多次應用上述知識，使策略的陳述形式向策略的程序形式轉化，即每當遇到同類任務時，就能用同一策略去解決。此時，相應的策略已經開始支配學生，策略性知識開始內化，外在的策略開始向內在的、個性化的、自己的策略性知識轉化。三是策略熟練應用階段。策略性知識完全支配人的學習活動，可以達到自動化的水平。這說明，“策略”在開始階段也具有外在的形態，經由內化過程而形成個體的策略性知識結構。

長期以來，小學數學教學重視對陳述性知識和程序性知識的教學，忽視對策略性知識的教學與研究，教師對策略性知識的教學大多不是有意為之。以應用題教學為例，追求的是學生能按照一定的程序解題，而較少考慮在解題中獲得一般的策略。新課程將應用題教學納入“解決問題”范疇，定位于學生獲得策略性知識。然而，由于對策略性知識理解的偏差，一些教師將“田忌賽馬”（編在人教版數學課本中，體現一種科學的思維方式）和“打折購物”（例如，某商場搞促銷活動，方法一：滿500送200；方法二：滿300送80；方法三：打7折。媽媽準備在服裝柜買1750元的商品。如果三種方法只能選用一種，怎么買最合算?）式的解決問題的技巧理解為“策略性知識”中的主流。致使有些教師對“解決問題的策略”感到很神秘，甚至無所適從。其實，應用題教學中的“策略”大多是老師們在以前的教學中行之有效的方法。對此，我們沒有理由放棄。在新課程實施近一輪的今天，我們仍然理直氣壯地、創造性地繼續發揮其作用。

1.審題中的策略

審題是一個提取有效信息（主要是數量信息）的過程，更是從生活問題轉化為數學問題的關鍵步驟。

審題的實質就是把握“問題”要素。對應用題而言，要素包含四方面：數據——直接或間接給出的量值；關系——量之間的邏輯關系與運算關系；狀態——情境狀態；目標——問題的定向系統。

讓學生學會審題，就是掌握不同數學背景下合理選擇不同的信息獲取策略。

①實物模擬操作。這里的“實物”通常是小棒、紙片等學具。如：“姐妹二人做了相同朵數的花，姐姐給了妹妹3朵后，妹妹比姐姐多幾朵?”學生憑直覺會得出“多3朵”的結論。操作一下，數量間關系一目了然。

②畫圖（模擬圖、示意圖、集合圖、線段圖等）。畫圖就是將題目要素直觀呈現在圖上。利用圖形直觀既體現了數形結合，更是思維方式轉換的需要。它使抽象、隱晦的數量關系具體化，是理解題意最常用的直觀輔助手段。目前有些教師忽視甚至放棄對學生用畫圖分析能力的培養，這是不應該的。當然，作圖的形式允許學生選擇，作圖的要求也不能像過去那樣過分規范，避免再成為學生新的負擔。比如分數應用題的線段圖，過去過分強調“分率”在上、具體量在下，該畫一條還是兩條、“比多少”時畫虛線還是實線等等都有“規矩”（如圖）。現在，教師仍然可以這樣畫，但對學生就不必要求過嚴。

③摘錄條件問題。對有的題，圖并不能直觀反映數量變化規律，有規律地排列條件與問題是審題更有效的策略。比如“歸一”應用題。

④列表。這是對數量具有按“批”規律出現的題一種有效的審題策略。

⑤聯想。利用生活經驗或在頭腦中“操作”。這是思考問題一種常用的“直觀”方式。

上述策略在審題目中都是十分有效的，但由于新教材中信息呈現的方式比過去的題豐富得多，如何體現“多樣”與“自主”才是老師們需要優先考慮的。

2．分析數量關系中的策略

數量關系是指數學問題中已知量與已知量、已知量與未知量之間具有運算意義的邏輯聯系。應用題的數學本質就在于其數量關系。可以說，解題思路的探求過程就是對數量關系從不明了到明了的過程；理解數量關系的過程也是運用各種策略的過程。

分析數量關系的策略十分豐富。一般的策略包括“綜合法”與“分析法”、“歸納”與“演繹”、“尋找中間問題”等等。對這些策略的使用，不能再像過去那樣簡單地作為“工具”教給學生，而應該有意識地在教學過程中始終運用，潛移默化地引導學生有條有理地分析。隨著熟練程度的提高，作為一種習慣性的數學思維方式成為學生認知結構中的一部分。

特殊的策略則不勝枚舉，如，等量代換、數形結合、化歸轉化、逆向思考、猜想驗證、比較異同、方程思想、模擬假設、對應聯想、列舉尋源等等。這些策略的運用要因題制宜，除了體現多樣化與個性化，教師更應該有意識地引導歸納、比較優劣、靈活應用。

3.列式計算中的策略

（1）算式的多樣性與合理性問題。在倡導算法多樣化的今天，應用題不同的解題思路會形成不同的算法（算式）。在鼓勵學生多角度思考、多樣化列式的同時，既要重視對多種解法作合理性比較，也要注意列式策略不“誤入歧途”。有這樣一則教學案例：“每個書包11元，32元可以買幾個這樣的書包?”算式為32÷11=2（個）……10（元），答案是可以買2個這樣的書包。這時，有學生提出32元可以買3個這樣的書包，其理由是買多了可以與售貨員討價還價便宜這1元；有的說可以打折；更有學生提出“可以到別的商店去買”。于是，討論各種買包的策略成了解決問題的關注點。題目在教師“會創造”的贊揚聲和學生的掌聲中結束。“生活化”固然給了學生很大的想象空間，但在這樣的教學中，小學生學數學本應遵循的許多規矩不存在了，這不利于學生數學策略性知識的學習和兒童科學精神的養成。

隨著應用題開放性的增強，現實問題不僅算式多樣，有些還無固定答案，對此，要引導學生從信息的利用和答案的合理性角度作算式的優化。

（2）提煉數量關系式的策略。算式以最直接的形式反映了題目的數量關系，“數量關系式”則是對解決同類現實問題具有一般意義的數學模型。對提煉數量關系式不應該遮遮掩掩，因為這既是一個尋找規律的過程，也是獲得同類問題解決方案的一個通用策略。當然，要注意兩點：①歸納數量關系式不是解題的最重要目的，并且區別于過去的應用，關系式不再僅僅是可以套用的一個公式。②數量關系式有兩種類型：情景（常識）型關系式（如“單價×數量=總價”、“工作總量÷工作效率的和=共同工作時間”）；純數學術語表征的關系式（如“每份數×份數=總數”）。對于前者，作為“現實問題”向用“數學方法解決”過渡的橋梁，這些關系式無疑是十分重要的，歸納、記憶與應用仍然不可忽視。而對于后者，就不一定出現這樣的式子，更不用讓學生背誦，而可以結合具體題目，逐漸經歷抽象過程。比如，“3束花，每束4朵，一共幾朵”：每束4朵，“乘”3束，一共12朵→每束朵數乘束數等于總朵數→每份數乘份數等于總數。

4.檢驗與反思中的策略

檢驗與反思是應用題作為解決問題目標的重要內容，是學生自我評價的主要方式。要引導學生掌握檢驗與反思的一些策略，并成為學生的自覺行為。策略性知識就是在這種有意識的自我反省中形成的。

反思最主要的形式是回顧解決問題的全過程，這同樣需要教師的引導：“解決這個問題經歷了哪幾個步驟?”“解決問題的過程中你運用了什么策略?”“能解釋一下你的想法嗎?”“能不能換個角度思考?”“還有更好的方法嗎?”“有什么新的問題?”“這個問題的結果是否合理?”等等。比如，對解題思路的敘述是展示學生思維過程的重要方式，能促使學生從直觀感知上升到數學理解。因而，仍然有必要讓學生有條理地敘述，“根據……可以知道……”，“先……再……”等。雖然不必再追求形式，但要強調說清楚，同學能聽清楚。又如，對于答案合理性的檢驗，要讓學生掌握根據不同問題特點采用“生活常識法”“逆運算法”等策略。

從學會解題到經歷解決問題的過程，應用題教學需要實現從程序性知識到策略性知識教學的轉變。對此，教師的認識正在逐步完善，而面臨的問題仍然不少。比如，①應用題大多融于計算教學中，在這樣的課堂中，解決問題的策略教學與計算技能培養關系的度如何把握?②一定量的重復練習是掌握策略的必要步驟，而過多的重復練習又有重回套類型老路之嫌，多少量的練習是恰當的?③對學生學業的評價如何體現學生的策略性知識掌握水平?等等。這些需要各方的共同探索。讓傳統教學的優勢在新課程體系中得以體現，仍然應該是我們努力的方向。