引導學生經歷數學學習的一般探索過程

陸志洪

要讓學生學會“數學地思維”，就要在教學中引導展開兩個學習過程。即知識的生成過程和知識結論的理解、運用過程。在這兩個過程中，學生的學習一般要遵循兩個順序，一個是知識本身的邏輯順序，一個是學生認知發展的心理順序。只有依據這兩個順序展開的學習活動，才能提升學生學習的主體性、能動性、獨立性。所以，教師要從學生的認知心理出發，真正做到認知順序同知識順序、教學順序的有機統一，讓學生在富有探索性的過程中學習。為此，必須重視引導學生經歷以下3個數學學習過程。

一、數學探索——經歷動作、映象、符號的同構過程

布魯納認為，在人類智慧生長期間，要經歷3個階段：動作性表征、映象性表征、符號性表征，這3個階段大致與皮亞杰的3個“運動階段”相當。鑒于小學生的年齡特點和數學知識的抽象性。數學知識的學習過程也應體現這3個階段，即應經歷“動作操作——表象操作——符號操作”的過程。動手操作是學生觀念的發端。是對知識直觀層面的感知，沒有學具和實踐的操作，學生的有些認識幾乎不可能發生；表象操作是連接動作操作和符號操作的中介，是對知識表象層面的具體又抽象的內化，忽視這一環節，直接把動作操作上升到符號操作，學生學習很難上升到抽象的符號文字水平；符號操作是通過符號對表象的再現，是對知識高度抽象概括，其中最重要的是語言，它為學生進一步展開高級思維提供了工具。只有有序地展開對同一知識的動作、映象、符號的同構探索過程，數學知識才能得以內化。布魯納還認為，即使人們達到了符號性階段，當遇到研究新事物時，仍然極大地利用動作性和映象性表征去學習認識事物?？梢娺@三者之間有相互促進的關系，動作和表象有利于抽象出符號，符號反過來有助于理解動作和表象，學生的學習只有在這種“具體、半具體、半抽象、抽象”之間來回展開，才能實現從具體到抽象的數學建構。

二、數學探索——經歷數學化的凝聚過程

數學教育最為核心的目標就在于使學生學會“數學化”。鄭毓信在《數學文化》一書中指出，所謂“數學化”是指如何由實際問題建構出它的數學模型，并應用數學的知識和方法去解決問題。其表現在兩個方面：一是由定量到定性的研究思想：二是相對于實際問題而言，數學化的過程必然包含著一定的簡化和理想化。所以，學生的數學學習應經歷“現實題材——數學問題——數學模型——數學知識和方法”的過程。其中“現實題材——數學問題”由教師提出或由學生自己提出：“數學問題——數學模型”應是由學生自己的活動，從數學問題出發，或猜測出一個數學模型再加以驗證，或由現實原型經過抽象轉化成數學模型，或由眾多例證歸納為一個數學模型?；蛴蓪σ蛩氐姆治鼋M成為一個數學模型，在這個過程中不僅有邏輯推理。而且有想象、類比、歸納、猜測等非邏輯推理：“數學模型——數學知識和方法”是從具體問題到抽象概念和方法的轉化過程，是建立數學問題與數學形式系統之間關系的過程，也是一個從一般方法反思具體問題的過程。數學的學習只有展開了這個過程，學生才能實現從過程到對象的凝聚，體驗到知識、方法和思想的發生、發展和提升。

三、數學探索——經歷數學結構的建構過程

數學教材中很多重要的概念、原理、思想都是按照螺旋上升的原則編排的，所以，學生的數學學習應經歷“簡單結構——復雜結構”的過程。皮亞杰認為，人都有適應和建構的傾向，這兩種認知發展的機能包括了同化和順應兩個過程。個體只有在從不平衡到平衡的不斷交替中，認知才能得到發展。數學知識的生成依賴于學生自身的積極建構，有的學習是把外界元素整合到一個正在形成或已經形成的結構中，如把三位數乘兩位數的整數乘法計算方法整合到兩位數乘兩位數計算方法中：有的學習是受同化元素的影響對原有結構發生改變，如用未知數表示數量關系是對用已知數表示數量關系的認知改變。學生數學學習的全過程，就是一個不斷探索與建構的過程，隨著學生數學認知結構的不斷復雜，學習的整體遷移能力在自主生成的同時，也得以不斷深化與拓展。