輕輕松松學好立體幾何

卜素英

摘要：本文主要講述了立體幾何中點、線、面的位置關系及它們之間的量化關系，詳細分析了空間角、空間距離的求解方法。

關鍵詞：空間位置 空間角 空間距離 垂直 相交 平行 共面 異面

在高中數學中，立體幾何是大多數同學感到頭痛的一部分。立體幾何不同于平面幾何，點、線、面不的位置關系很復雜，用符號表示很難理解且不易讀懂。怎樣輕松愉快地學習立體幾何呢？其實很簡單，只要把點、線、面之間的關系及內在的聯系分析清楚了，它們之間的關系就容易理解了，學習起來也就輕松多了。

一、抓住基本要素，掌握基本關系

構成立體幾何的基本要素為點、線、面，它們之間點與線、點與面、線與線、線與面、面與面的關系必須明明白白。

(一)點與線

1. 點在直線上：交點為該點。

2. 點不在直線上（點在直線外）：點與直線無交點，那么點與直線之間就有一定的距離。

（二）點與面

1. 點在平面內：交點為該點。

2. 點不在平面內（點在平面外）：點與平面無交點，點與平面之間就有一定的距離。

（三）線與線

1. 兩直線相交：相交直線有且僅有個一個交點，兩條相交直線所成的角必須掌握。

2. 兩直線平行：平行直線無交點，平行直線間的距離必須掌握。

3. 異面直線：異面直線無交點，異面直線所成的角和異面直線之間的距離必須掌握。

（四）線與面

1. 直線在平面內：相交直線為該直線。

2. 直線與平面平行：直線與平面無交點，直線與平面之間的距離要掌握。直線與平面平行的判定定理及性質定理必須掌握。

3. 直線與平面相交：直線與平面有且僅有一個交點，直線與平面所成的角必須掌握。特殊情況直線與平面垂直：直線與平面垂直的判定定理及性質定理必須掌握。三垂線定理是立體幾何中非常重要的定理，要求熟練掌握并靈活應用。

（五）面與面

1. 平面與平面相交：兩平面相交有且僅有一條相交直線。特殊情況兩平面垂直：平面與平面垂直的判定定理及性質定理必須掌握。

2. 平面與平面平行：兩平面平行無交點。兩平面平行的判定定理與性質定理必須掌握。

線線的平行和垂直是基礎，線面的平行和垂直都是建立在這個基礎上的，進而引出面面的平行和垂直。

這些關系中，平行與垂直的判定和性質是討論的中心問題。

二、深挖內在聯系，綜合應用點、線、面

（一）空間角

空間中的角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角以及二面角，這些角是對點、直線、平面所成的空間圖形的位置關系進行定量分析的重要概念，也是高考考查的重點。

1. 異面直線所成的角

（1）定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任意一點O，作a'∥a，b'∥b，我們把a'與b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角（或夾角）。

（2）求作異面直線所成角的方法

平移法：在異面直線中的一條直線上選擇一“特殊點”，作另一條直線的平行線；

補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系。

（3）范圍：（0°，90°]:利用解三角形求異面直線所成的角時，若其余弦值大于或等于0，則就是此角；若小于0，則是其補角。

2. 直線與平面所成的角

（1）定義：直線與平面所成的角是直線和它在平面內的射影所成的銳角。當直線和平面平行時，稱直線和平面成0°角。當直線和平面垂直時，稱直線和平面成90°角。

（2）求作直線和平面所成角的方法

直接法：斜線和平面所成的角是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面內的射影，其中的關鍵是作出射影線段（它是由垂線段的垂足和斜足連結而成的）。用直接法求角時，確定點在直線上或平面上的射影的位置是一個既基本又重要的問題。

公式法：由公式cosα=cosα1cosα2求解（其中斜線AB與平面α所成的角為α1，A為斜足，AC在α內，且與AB的射影成α2角，∠BAC＝α）。

2. 二面角

（1）定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（2）求作二面角的方法

二面角的大小是用它的平面角來度量。找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下幾種方法：

定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面中作棱的垂線，得出平面角。用定義法時，要認真觀察圖形的特性。

三垂線法：已知二面角其中一個面內一點到另一個面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角。

垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角。由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。

射影法：利用面積射影公式S'=S·cosα，其中α為平面角的大小，此方法不必在圖中畫出平面角來。

斜面面積和射影面積的公式：S'=S·cosα（S為原斜面面積，S'為射影面積，α為斜面與射影所成二面角的平面角）。這個公式對于斜面為三角形或任意多邊形都成立，是求二面角的好方法。當作二面角的平面角有困難時，如果能找到斜面面積的射影面積，可直接應用公式，求出二面角的大小。

對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現棱，然后再選用上述方法。

（3）范圍：［0°，180°］:當二面角的兩個面重合時，規定二面角的大小為0°；當二面角的兩個面合成一個平面時，規定二面角的大小為180°。

（二）空間距離

空間距離是指兩點間距離、點線距離、點面距離、線線距離、線面距離以及面面距離等。空間距離的求法是教材的重要內容，其中以點與點、點到線、點到面的距離為基礎，求其他幾種距離一般應化歸為求這三種距離。

1. 異面直線的距離

求異面直線的距離，找出公垂線，計算公垂線的距離。如果找不到公垂線，可進行轉化：

（1）異面直線距離=>線面距離=>點面距離=>等體積法。

（2）異面直線間的距離=>兩平行平面間距離=>點面距離=>垂線段的長。

2. 點到直線的距離

求點到直線的距離，經常應用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關的三角形中求解。

3. 點到平面的距離

求點到平面的距離，一般找出（或作出）過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質過該點作出平面的垂線，進而計算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離。求直線與平面的距離及平面與平面的距離，一般均轉化為點到平面的距離來求解。

學習立體幾何，要建立立體觀念。因此，充分理解并掌握以上基本知識還是不夠的，還需要從畫圖、看圖做起，把對問題的圖形表示、符號表示、文字表示聯系起來，形成整體認識，把圖形、符號、定理都歸為一體，那么就能輕松愉快地學好立體幾何了。