課堂教學：重在誘導，貴在生成

隨著教學改革的不斷深入，數學教育的新理念、新觀點不斷出現，但最終應體現在數學課堂教學中。課堂教學是“以教師為主導，學生為主體”的雙邊活動，教師的教重在誘導啟發，學生的學貴在知識、技能的生成。

教學片斷：

人教版高中《數學》第二冊（上）§6.2教材對基本不等式：如果a，b是正數，那么 ≥ （當且僅當a=b時取“=”號）給出了幾何直觀解釋，其幾何意義是“半徑不小于半弦”。教師適時地引導學生探究：不等式 ≥ 能有怎樣的幾何意義呢？

課堂上，許多學生都討論積極，教師也加入A組和學生一起討論。課堂氣氛顯得比較活躍，估計過了10分鐘，教師要求各組展示其結果，其中有三個組（包括A組）各次展示了探究結果。其中D組將該不等式等價轉化為：a +b ≥2ab，作出幾何直觀圖。教師對各種構造的幾何直觀圖都給予高度評價，尤其是展示的三位學生帶著滿意的微笑（或滿意感）回到自己的座位上。下課鈴聲響了……

課后，我不能忘掉我看到的現象：

學生方面，組內總有學生對于探究的問題顯得束手無策，只得聽別人的思路……聽完老師對各種構造的幾何直觀圖給予高度評價后臉上露出無奈的表情（似乎說我怎么這么笨）……

教師方面，從探討過程中，教師幾乎把課堂全交給學生，思維過程隨學生展開而展開，隨學生結束而結束。

我們承認學生具有創造性的同時不能削弱教師的作用。現代教學論倡導自主探索、合作交流的教學模式，把課堂還給學生，但不能把課堂完全交給學生，因為學生的創造性是有條件的，教師應當發揮積極的啟發或引導作用，在學生遇到困難時通過給予適當的啟示以幫助學生克服困難，在學生解決問題后除表揚稱贊之外更重要的還在于分析總結，使學生在此基礎上達到知識、技能的生成。另外，問題的設計應有利于大部分學生都有所收獲。

實際上，對不等式 ≥ 的幾何直觀圖好多文章研究過，我們的問題是如何在課堂更有效地發揮此題的作用。我在上完不等式的證法后，把問題設計為：請學生證明不等式：已知a，b是正數，求證： ≥ ，并探究其幾何意義。這樣設計在教師的誘導下能使不同層次的學生都有所收獲。

給出思考時間，學生對該題的條件與結論提供的外在信息與自身的內在信息進行提取、組合、加工和轉化，明確解題方向，形成解題策略，確定解題方法。教師此時巡視，反饋學生的思考方向、解題策略及困難所在，有目的地進行適當誘導，發揮教師的主導作用。這樣做的目的既能使個別學生解困，也能使大家分享有效資源。

經過教師有效的誘導，學生組內合作討論，證明方法主要有以下幾種：

證法一：由a +b ≥2ab，得2（a +b ）≥（a+b） ，即 ≥ .

又a，b＞0，所以 ≥ .

證法二：要證 ≥ ，只需證 ≥ ，

即a -2ab+b ≥0，

即證（a+b） ≥0，最后一個不等式成立，故原不等式成立。

證法三：原不等式等價于 ≥ a+ b，又 a+ b=asin +bsin = sin（ +θ）≤ ，即得證。

證法四：構造幾何圖形，如圖，作Rt△AOB，使OA=a，OB=b，作∠AOB的角平分線OE，過B作BC垂直于OE于C，過A作AD垂直于OE于D，從圖形中易得AB≥AD+BC，當OA=OB時取“=”號。

即得 ≥ a+ b，即原不等式得證。

其中證法一與證法二是最基本的證法，主要集中在數學基礎一般的學生，而采用證法三與證法四的學生表現出其較強的技能。我對各種證法給予高度評價后，特別對證法三與證法四之間的聯系作了分析，用提問的方式考查了學生證法四的思路。對此，我又布置了課后作業：

若a，b，c是正數，求證： + + ≥ （a+b+c）.

從作業可以看到證明方法除應用不等式的性質外，很好地利用了幾何直觀圖。

反思教學過程，教學改革如火如荼，教學模式層出不窮，教師要認真學習，吸取其合理、對教學有指導價值的成分，使課堂教學符合教學規律。課堂教學只要遵循教學規律，把教師的教和學生的學有機地結合，一定會取得很好的效果。

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