“數形結合”在中學數學中的應用

摘 要： “數”與“形”是數學的基本研究對象，切實把握好“數形結合”的思想是學好數學的關鍵之一。本文作者從數形結合的角度出發，對“中學數學中常見的一些范例”和“數形結合解題誤區”兩大部分做了進一步地解釋與分析，達到靈活巧妙運用“數形結合”這一數學思想的目的。

關鍵詞： 數形結合 數學思想 誤區

數學是研究現實世界數量關系和空間形式的一門科學，因此“數形結合”思想是重要的數學思想方法之一。所謂“數形結合”就是將抽象的數學語言、符號與其所反映的圖形有機地結合起來，從而促進抽象思維與形象思維的有機結合，通過對直觀圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得以解決。它主要包括兩大方面內容：一是以“數”輔“形”——借助于數的精確性、規范性和嚴密性來闡明形的某些屬性；二是以“形”助“數”——借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系。前者中學教材中配有大量的范例，后者涉及不多，下面我就這一方面作了一些嘗試性的探索。

一、“數形結合”在中學數學中的幾種常見形式

例1：求函數的值域。

（1）f（θ）= .

分析：令P（cosθ，sinθ），M（-2，-1），則點P為單位圓上任意一點。那么問題就可以轉化為：求單位圓上動點P與定點M連線斜率的取值范圍。如圖1-1。當P 、P 分別為直線與圓的兩切點時，直線斜率分別取最大、最小值。

解：設MP方程：y+1=k（x+2），由點O到MP距離為1，得： =1，解得：k=0或k= ；∴函數的值域為［0， ］。

（2）y= + .

分析：由題干中的平方和的算術平方根我們可以聯想到平面內兩點間的距離。原式可化為：y= + 。表示直角坐標系內x軸上一點P（x，0）到兩定點A（0，2）、B（-1，3）的距離之和；如圖1-2。

解：y≥|A′B|= = ，

∴y∈［ ，+∞）。

例2：求在（0，2π）內，使sinx＞cosx成立的x取值范圍。

分析：此題若是用代數的方法求值，討論起來比較麻煩，這時我們可以畫出（0，2π）上正弦函數和余弦函數的圖像，如圖2。易得兩個交點的橫坐標分別為 和 ，∴x∈（ ， ）。

例3：直線y=x+b與曲線x= 有且僅有一個公共點，求b的取值范圍。

分析：此題我們在對曲線方程變形的時候不難發現曲線x= 是一個以坐標圓點為圓心，1為半徑的半圓。如圖3。

解：Ⅰ.當直線y=x+b與曲線相切時，滿足 =1，b=± ，觀察圖形可知b= 不符合題意，舍去。

Ⅱ.當直線與曲線相交時，-1＜b≤1。

∴b的取值范圍為-1＜b≤1或b=- 。

例4：已知關于x的不等式 ＞ax的解集區間為（0，2）的子集，試求a的取值范圍。

分析：該不等式是一個無理不等式，若按照無理不等式的通用解法，則容易出現考慮不周的情況，解題過程也相當繁瑣。如果考慮到不等式兩側代數式的幾何意義，問題便變得簡單多了。

解：在直角坐標系內作曲線y= 與直線y=ax，如圖4。要使不等式的解集區間為（0，2）的子集，由圖形可知：a≥1。

例5：已知a、b分別是方程x+lgx=3與方程x+10 =3的解，求a+b的值。

分析：此題要想用代數的方法求解是不可能的，必須采用“數形結合”的方法。通過對方程的變形有：lgx=3-x，10 =3-x；在同一坐標系內畫出這三個函數的圖像，交點分別為A、B，由題意可知點A的橫坐標為a，點B的橫坐標為b，如圖5。

又知道y=lgx與y=10 互為反函數，圖像關于直線y=x對稱，即A、B關于直線y=x對稱，其中點M的橫坐標為 ，所以有： = ，故a+b=3。

二、“數形結合”思想解題的誤區

“數形結合”思想，在中學數學中是比較常見的一種解題方法，但在運用這種方法的時候，許多學生因為種種原因，導致在解題過程中出現錯誤，下面我再就幾種學生常犯的錯誤，對“數形結合”思想解題的誤區作個簡單的剖析，希望能幫助學生走出誤區。

1.畫圖不準確

幾何是研究空間圖形及其性質的一門學科，根據題意所作的圖形是溝通觀察與推理之間的橋梁和基石。因此作圖必須力求準確，否則，就會因作圖的草率而導致推理和計算上的錯誤。

例6：求方程x=sinx的實數根的個數。

圖像法：作出函數y=x與y=sinx的圖像，交點的個數即為方程實數根的個數。

錯解：因為y=sinx為奇函數，所以我們只需作出x軸正半軸的圖像，如圖6-1。結合奇函數圖像的特征可知：有3個實數根。

分析：由于在作圖過程中沒有考慮到兩個函數的遞增速度，導致作圖不準確，因而得出錯誤結論。

正解：畫出兩個函數的正確圖像，如圖6-2。由圖可知：有一個實數根。

2.數形轉化不等價

例7：設a＞0，求點A（a+ ，a- ）與點B（-1，0）之間的距離的最小值。

錯解：由點A（a+ ，a- ）可知A的軌跡方程為x -y =4，作出對應的雙曲線，如圖7-1。可知|AB|的最小值為1。

分析：錯在忽視了變量的取值范圍，因由a＞0，可知x＞0，正確的圖像應為雙曲線的右支，如圖7-2。故最小值應為3。

通過對以上幾個典型例題的剖析，不難發現：“數形結合”表現出了它思維的靈活性、方法的多樣性，以及過程的簡捷性，為我們提供了多條解決問題的通道。華羅庚教授說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”只要我們把握好“數形結合”的尺度，充分發揮數與形的長處，就定能使“數形結合”的效果達到極致。

參考文獻：

［1］鄧秀娟.如何培養學生的數學思維能力［N］.清遠日報，2007.6.29.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文