信息對事件的影響

摘要信息對事件的影響，可以是直接的，也可以是間接的，概率論給出了量化這些影響的一個方法。

關鍵詞信息條件概率條件概率空間

中圖分類號:G203文獻標識碼:A

在一個試驗中，如果知道其中一個事件已經發生了，我們自然希望能夠利用所發生事件帶來的新的信息，去重新認識其它事件的不確定性。那么，我們應該怎樣使用這些信息呢?舉一個例子:某秘書的辦公桌有8個抽屜，分別用1～8編號，每次她拿到一份文件后，就會隨機地將此文件放到某個抽屜里，有的概率她會忘了把文件放在哪個抽屜里，而最終找不到這份文件了。現在這位秘書要找一份非常重要的文件，她按順序打開每一個抽屜，直到找到這份文件為止，或者翻遍所有的抽屜都沒有找到這份文件。問:(1)假如打開了第一個抽屜，發現里面沒有這份文件，則這份文件在其余7個抽屜里的概率?(2)假如翻遍了前4個抽屜，都沒有要找的文件，那么，這份文件在剩下的4個抽屜里的概率?實際上，所求概率會越來越小，因為越找不到，找到的可能性就越小，前面的信息或多或少給予了后面結果的暗示，這里我們注意到:由于文件丟失的概率是，即10份文件中就有2份找不到了，而其余8份平均地分給了8個抽屜。假如我們把所有失去的文件都找回來，應該有2個抽屜那么多。于是可以在這8個抽屜后面加上兩個虛擬抽屜——抽屜9和抽屜10，這兩個抽屜專門用來裝因找不到而丟失的文件，這時問題可轉化為:隨機地把文件放在10個抽屜里，但找文件時，不允許打開最后兩個抽屜。當已經找過個抽屜，仍沒有找到指定文件時，文件只能在剩下的10-個抽屜里，但我們只能尋找剩下的8-個抽屜，所以所求的概率為，于是，所求的概率為;，所求的概率為。

某個事件在附加了信息(或條件)下的概率稱為條件概率，記作|，它與無條件概率之間的關系為|。

例如:袋中裝有個白球和黑球，一次取出個球，發現是同一顏色的球，求這個球為黑球的概率?

設 A:取出個球是黑球，B:取出個同色球={同為黑球}+{同為白球}，分別記為、，即，且、互不相容，則

{個黑球}=+∴|==

值得注意的是無條件概率與條件概率|在數值之間沒有必然的關系，但是在一些特殊的情況下，它們之間也可以有大小關系。

例如:

(1)若，則|，時，意味著的發生增加了發生的可能性。

(2)，則|，同樣當時，發生一定導致發生，∴|=1

(3)若，則|，由于與互不相容，所以發生則必不發生，故|

從條件概率|的定義可以看出，條件概率實質上就是將原來的樣本空間縮小到，這個縮小的樣本空間我們用€%R記，則|

由此可以看出，條件概率也是概率，它滿足概率所具有的性質。

例:一次擲十顆骰子，已知至少出現一個一點，問至少出現兩個一點的概率?

:至少出現兩個一點，:最多出現一個一點，:至少出現一個一點，則

再進一步，我們甚至還可以在條件概率空間中定義條件概率，即|=|，因為

這樣就得到了條件概率空間中任一事件的條件概率與原來概率空間中該事件的條件概率的關系，這個關系對處理許多實際問題非常方便。

例如某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號，已知最后一個數字是奇數，求他撥號不超過三次而撥通的概率?

:撥號不超過三次撥通電話，:第次撥通電話()

:最后一個數字是奇數，則

有時，在實際問題中，還會碰到隱藏了真實性的信息，最常見的是買東西的人總是抱怨東西太貴，而賣方卻又抱怨沒賣出好價錢，這似乎有些自相矛盾，但仔細分析，就能揭開這些抱怨背后所掩蓋的信息真相。交易的成功表明了即使你不十分滿意它的價錢，但你還是認為所得值得。因此，信息是需要提取與甄別的，概率論僅僅給出了一個量化的指標，但更多時候，還需要我們透過現象看本質，從中揭開這些信息對事件所產生的內在影響。