例談分類討論思想在解題中的應用

摘要： 近年高考數學分類討論題學生得分率很低，本文針對學生易犯的錯誤以數道題目為例，談談分類討論思想在解題中的正確應用。

關鍵詞： 分類討論思想 解題 正確應用

分類討論是高中數學重要的思想方法之一，因試題覆蓋的知識點多，知識面廣，具有明顯的“邏輯性，綜合性，探索性”的特點，能體現“著重考查學生數學能力”的要求，所以成為歷年高考的熱點之一。從近幾年高考學生的答題情況看，分類討論題得分率很低，學生出錯往往是因為不知道何時、為何分類，在分類過程中存在重復與遺漏現象。本文從以下幾個方面談談分類討論思想在解題中的正確應用，和讀者共同探討。

一、概念分類型

它是由數學概念引起的分類討論，如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數的定義、直線與平面所成的角等，這類問題應以所定義的概念進行分類、討論，并且注意概念所受的限制。

例1.已知：A（-1，0），B（1，0），P為平面內一點，若，｜PA｜+｜PB｜=2a，求P點的軌跡。

分析：由于2a的取值范圍直接影響著P點的軌跡，因而須比較2a與｜AB｜的大小。

解：當2a＞2，即a＞1時，由橢圓定義可知，P點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓；當2a=2，即a=1時，P點的軌跡是以A、B為端點線段；當2a＜2，即a＜1時，P點的軌跡不存在。

二、運算需要型

它是由數學運算要求引起的分類討論，如除法運算中除式不為0、在實數集內偶次方根的被開方數為非負數、不等式兩邊同除以一個正數還是負數、三角函數的定義域等。

例2.已知向量且 =(cos x，sin x)， =(cos ，-sin )且x∈［0， ］，若f(x)= #8226; -2λ｜ + ｜的最小值是- ，求λ的值。

分析：f(x)=2(cosx-λ) -1-2λ

令cosx=t∈［0，1］，

從而g(t)=2(t-λ) -1-2λ。

這樣就轉化成一個軸動而區間定的二次函數的最值問題。由于二次函數的對稱軸位置直接影響著函數的單調性和最值，因此我們有必要對對稱軸在區間的內部、外部進行討論，即分λ＜0，0≤λ≤1，λ＞1三種情況。結果為λ

= 。

三、公式條件型

它是由函數的性質、定理、公式的限制引起的分類討論，有些函數性質、定理在不同條件下有不同的結論，或者在一定的限制條件下才成立。例如：均值定理、等比數列數列前n項和公式、指對數函數的單調性等。

例3.公比為q(q≠0)的等比數列{a }的前n項和為S ，設S =，求S的取值集合。

分析：要求S，則先求S ，而等比數列{a }的前n項和公式受q=1和q≠1的制約，因而需要分類討論。

解：（1）q=1時，S =na ，S =2na ， = ，= 。

（2）q≠1時，S = ， = = 。

①｜q｜＜1時，=1；②｜q｜＞1時，=0。

綜上，S的取值集合是{0，1， }。

四、圖形位置不確定型

它是由圖形位置的不確定性引起的討論，當已知條件不能確定圖形位置時，在求解或證明的過程中，則需根據可能出現的圖形位置進行分類討論，此類問題在立體幾何或解析幾何中較為常見。

例4.求過點P（-1，2）且與點A（2，3）和B（-4，5）距離相等的直線L的方程。

分析一：若設直線的點斜式方程，須分斜率存在和不存在兩種情況進行討論。

分析二：按A、B在L的同側和A、B在L的異側兩種情況進行討論，即L∥AB和L過AB的中點。

答案為：x=-1和x+3y-5=0。

五、參數變化型

某些含參數的問題由于參數取值的不同會導致所得結果不同，或者由于對不同的參數值要運用不同的求解或證明方法。如含參數的方程或不等式，直線的點斜式方程等，這時需要進行分類討論。

例5.解關于x的不等式：ax +2ax+1＞0。

分析：對含參數不等式的討論應逐級進行：最高次項系數、有無實根、根的大小等。本題關鍵是確定對參數a分兩級討論，做到不重不漏。首先根據a是否為0來分類，然后按a＞0與a＜0和判別式來進行二級分類。像這種多級討

論的問題，要層次分明，每一級的分類標準明確，最后要有總結。解略。

六、其他

根據實際問題具體分析進行分類，如排列組合、概率問題，應用問題等。

例6.由12人組成課外文娛小組，其中5個人只會跳舞，5個人只會唱歌，2個人既會跳舞又會唱歌，若從中選出4個會跳舞，4個會唱歌的人去排演節目，共有多少種不同的選法？

解析：設既會跳舞，又會唱歌的二人為甲、乙。

（1）按唱歌的人選分類

①唱歌從甲、乙二人中選兩人，有c#8226;c#8226;c=50種不同的選法。

②唱歌從甲、乙二人中選一人，有c#8226;c#8226;c=300種不同的選法。

③唱歌不從甲、乙二人中選，有c#8226;c=175種不同的選法。

則N=50+300+175=525

（2）按甲、乙二人是否被選出及去向分類

①甲、乙二人都被選出且都唱歌，有c#8226;c#8226;c=50種不同的選法。

②甲、乙二人都被選出且都跳舞，有c#8226;c#8226;c=50種不同的選法。

③甲、乙二人都被選出且一人跳舞一人唱歌，有c#8226;c#8226;c#8226;A=200種不同的選法。

④甲、乙二人一人被選出且唱歌，有c#8226;c#8226;c=100種不同的選法。

⑤甲、乙二人一人被選出且跳舞，有c#8226;c#8226;c=100種不同的選法。

⑥甲、乙二人都不被選出，有c#8226;c=25種不同的選法。

則N=50+50+200+100+100+25=525。

總結：從以上兩種方法可以看出，選取的分類標準不同，分類的復雜程度也不同。如何合理地選取分類標準，是值得我們在學習中摸索、探討的問題。

例7、甲、乙、丙三人進行某項比賽，每局有兩人參加，沒有平局，在一局比賽中，甲勝乙的概率為 ，甲勝丙的概率為 ，乙勝丙的概率為 。比賽的規則是先由甲和乙進行第一局的比賽，然后每局的獲勝者與未參加此局比賽的人進行下一局的比賽，在比賽中，有人獲勝兩局就算取得比賽得勝利，比賽結束。求甲取得比賽勝利的概率。

分析：甲取得比賽勝利，即在甲勝兩局之前，乙丙沒有勝兩局的情況。為了使分類不重不漏，可以根據需比賽的局數來進行分類。

解：經分析甲取得比賽勝利須比賽二局或四局，有以下幾種情況：①比賽兩局，即甲勝乙，甲勝丙；②比賽四局，即甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，甲勝乙；③比賽四局，即乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，甲勝乙。其概率為p= × + × × × + × × × = 。

以上只是通過幾個具體的例子分析總結了引起分類討論的原因及需要注意的問題，但分類討論畢竟是貫穿于整個高中數學的思想方法，要想靈活應用，則需要我們有一定的知識積累，并在平時學習中善于歸納總結，鍛煉思維的靈活性和嚴謹性，本文旨在拋磚引玉，希望這種方法能引起大家足夠的重視。

參考文獻：

［１］汪昌政.分類整合思想方法專題復習講座.數學通報，第48卷第1期.

［２］張為茂.分類討論思想細節與高分.2008年第一版.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”