意料之外 情理之中

數學世界中有些現象非常奇特，當你初看時完全出乎意料，與現有經驗相違背，但經過計算和證明，卻又在情理之中.下面舉兩個例子，與大家分享.

一、兩數之和=兩數之積

在數學中，兩個數的和怎么會等于兩個數的積呢?不可能!你肯定會這樣回答，不過，卻真的有這種現象.如:

4+1= 4×1，2+1= 2×1，

2+1= 2×1，6+1=6×1.

不信，你去算算，這四個算式可真的證明了有兩個數之和等于這兩個數之積的現象.這是為什么呢?

將上面四個算式化成假分數，便可找出規律.

+=×，+=×，

+=×，+=×.

即:兩個分數(假分數)，若分子相同，分母之和與分子相等，則這兩個分數之和等于這兩個分數之積.

當然，我們可以用方程思想來解釋.設這兩個數為a、b，則a+b=ab.

把b當作未知數，a當作已知數，解方程，有

ab-b=a.

b(a-1)=a.

b=(a>1).

即:對任何大于1的數a，總可以按b=找到一個數b，使a與b的和等于a與b的積.

例如:a=2，則b==2，故有2+2=2×2.

a=1，則b==×=2，故有1+2=1×2.

二、荒謬的化簡

一次，有位同學做下面這道題時是這樣化簡的，==.

當然，批改作業的老師毫不猶豫地用紅筆在作業本上打了一個大“×”.不料，在批改其他同學的作業時卻發現正確解答得出的答案也是.這就怪了，怎么會呢?但事實勝于雄辯.這位同學的化簡結果確是正確的.

原來問題的關鍵就在于24+13=37.

我們可以用從特殊到一般的思想來討論這個問題.

考慮分式=

=.

根據分式的基本性質，分子、分母同除以a2-ab+b2，分式的值不變，就得到=.

取a=37，b=13時，則a-b=24，代入=之中，就得到了那個看似荒謬卻實際正確的等式==.取不同的a、b的值，還可以得出無窮無盡這樣的等式哩!

注:立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)不要求……