意料之外 情理之中

數(shù)學(xué)世界中有些現(xiàn)象非常奇特，當(dāng)你初看時完全出乎意料，與現(xiàn)有經(jīng)驗相違背，但經(jīng)過計算和證明，卻又在情理之中.下面舉兩個例子，與大家分享.

一、兩數(shù)之和=兩數(shù)之積

在數(shù)學(xué)中，兩個數(shù)的和怎么會等于兩個數(shù)的積呢?不可能!你肯定會這樣回答，不過，卻真的有這種現(xiàn)象.如:

4+1= 4×1，2+1= 2×1，

2+1= 2×1，6+1=6×1.

不信，你去算算，這四個算式可真的證明了有兩個數(shù)之和等于這兩個數(shù)之積的現(xiàn)象.這是為什么呢?

將上面四個算式化成假分?jǐn)?shù)，便可找出規(guī)律.

+=×，+=×，

+=×，+=×.

即:兩個分?jǐn)?shù)(假分?jǐn)?shù))，若分子相同，分母之和與分子相等，則這兩個分?jǐn)?shù)之和等于這兩個分?jǐn)?shù)之積.

當(dāng)然，我們可以用方程思想來解釋.設(shè)這兩個數(shù)為a、b，則a+b=ab.

把b當(dāng)作未知數(shù)，a當(dāng)作已知數(shù)，解方程，有

ab-b=a.

b(a-1)=a.

b=(a>1).

即:對任何大于1的數(shù)a，總可以按b=找到一個數(shù)b，使a與b的和等于a與b的積.

例如:a=2，則b==2，故有2+2=2×2.

a=1，則b==×=2，故有1+2=1×2.

二、荒謬的化簡

一次，有位同學(xué)做下面這道題時是這樣化簡的，==.

當(dāng)然，批改作業(yè)的老師毫不猶豫地用紅筆在作業(yè)本上打了一個大“×”.不料，在批改其他同學(xué)的作業(yè)時卻發(fā)現(xiàn)正確解答得出的答案也是.這就怪了，怎么會呢?但事實勝于雄辯.這位同學(xué)的化簡結(jié)果確是正確的.

原來問題的關(guān)鍵就在于24+13=37.

我們可以用從特殊到一般的思想來討論這個問題.

考慮分式=

=.

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母同除以a2-ab+b2，分式的值不變，就得到=.

取a=37，b=13時，則a-b=24，代入=之中，就得到了那個看似荒謬卻實際正確的等式==.取不同的a、b的值，還可以得出無窮無盡這樣的等式哩!

注:立方和公式a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)不要求掌握.