換個角度 收獲多多

我們經(jīng)常會碰到一些不能理解或暫時無法處理的問題，這時候如果我們善于變通，換個角度思考，也許會柳暗花明，有意想不到的收獲.

小明遇到這樣一道習(xí)題，需要他準確地畫出一個角的角平分線，但他手中僅有刻度尺和三角板.小明在剛學(xué)的全等三角形知識的基礎(chǔ)上，進行聯(lián)想與思考，最后不僅解決了這個問題，而且想出了多種畫法，從而對三角形全等的判定有了更深的認識.

小明經(jīng)過一番思考后，換了個角度提出問題:在圖1中，滿足什么樣的條件才能有∠BAO=∠CAO呢?很顯然，只需要證得∠BAO所在的三角形與對應(yīng)的∠CAO所在的三角形全等，問題便能獲解。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，探索是數(shù)學(xué)的生命.現(xiàn)在問題明確了，小明得出了很多結(jié)論，現(xiàn)列舉一部分:

①AB=AC，且BE=CD;

②AE=AD，且BE=CD;

③AB=AC，AE=AD;

④AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分別為E，D;

⑤AE=AD，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足分別為E，D;

⑥AB=AC，OB=OC，BO的延長線交AC于D， CO的延長線交AB于E;

⑦BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別是D、E，BD、CE相交于點O，且BO=CO;

⑧AB=AC，E、D分別是AB、AC的中點;

⑨AB=AC，且∠B=∠C;

⑩AB=AC，∠BDA=∠CEA.

其中，僅用小明的工具就能作出角平分線的是①、②、③、④、⑤、⑧.下面給出其中的三種作法:

法一:如圖2，在AC上分別截取AD、AG，在AB上分別截取AE、AF，使AE

=AD，AF=AG，連接EG、DF交于點O，連接AO并延長，射線AO就是∠BAC的角平分線.

法二:如圖3，在AB、AC上分別截取AE、AD，使AE=AD，過D、E分別作 FD⊥AC，GE⊥AB，交AB、AC于F、G，EG、DF交于點O，連接AO并延長，射線AO就是∠BAC的角平分線.

法三:如圖4，在AB、AC上分別截取AE、AD，使AE=AD，取AE、AD的中點M、N，連接MD、NE交于點O，連接AO并延長，射線AO就是∠BAC的角平分線.

換個角度看問題，小明的收獲可不少。

意外收獲一:作角的平分線的工具不僅僅限于尺規(guī)與量角器，用三角板、刻度尺照樣能成功.

意外收獲二:對圖1，他還掌握了證明三角形全等的多種方法.

意外收獲三:對圖1，在解決問題的時候還發(fā)現(xiàn):∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.

意外收獲四:對圖1，當(dāng)AB=AC時，即△ABC是等腰三角形時，兩腰上的中線、兩腰上的高相等，兩底角的角平分線的交點到底邊的兩個端點的距離相等，即OB=OC.