靈活消元 巧妙解題

代入法和加減法是解二元一次方程組最基本的方法.如何代入與加減，有一定的技巧.

一、代入的技巧

1.單個代入:將方程組里的一個系數較簡單的方程變形，用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數，再用這個代數式代替另一個方程中相應的未知數.

例1 解方程組3x-5y=6， (1)x+4y=-15. (2)

分析:由(2)得:x=-4y-15. (3)

把(3)代入(1)，得3(-4y-15)-5y=6.解出y后再代入(3)，解得x.方程組獲解.

2.直接代入:若兩個方程中同一未知數的系數成整數倍，就可以直接代入消元.

例2 解方程組3x-4y=-7， (1)9x-10y+25=0. (2)

解:由(1)得3x=4y-7. (3)

把(3)代入(2)，得到一元一次方程3(4y-7)-10y+25=0后便能輕松獲解.

解得:y=-2.

把y=-2代入(3)得x=-5.

所以原方程組的解是x=-5，y=-2.

3.整體代入:將某一方程中含未知數的代數式作為一個“整體”代入消元.

例3 解方程組5x+2y=25， (1)3x+4y=15. (2)

解:因為(2)式中y的系數是(1)中y的系數的2倍，所以可將(2)式化為:

2(5x+2y)-7x=15. (3)

把(1)代入(3)得:2×25-7x=15.解得:x=5.

把x=5代入(1)得:y=0.

所以原方程組的解是x=5，y=0.

4.參數代入:如果方程組中含有比例式，可用設參代入的方法.

例4 解方程組■=■， (1)3x+4y=32. (2)

解:設■=■=k，可得:x=5k-1，y=2k+3. (3)

把(3)代入(2)解得:k=1.

把k=1代入(3)，得原方程組的解是x=4，y=5.

5.換元代入:引入新的輔助未知數，再代入構造新方程組.

例5 解方程組8(2x+y)+3(x-2y)=2，6(2x+y)+5(x-2y)=-4.

解:因為原方程組中有相同的兩項，可設2x+y=m，x-2y=n.

則得8m+3n=2，6m+5n=-4.解得:m=1，n=-2.

所以2x+y=1，x-2y=-2.可解得:x=0，y=1.

二、加減的技巧

1.直接加減:當兩方程中某個未知數的系數相等或互為相反數時，宜直接加減消元求解.

例6 解方程組3x+5y=5， (1)3x-4y=23. (2)

分析:(1)-(2)得:9y=-18.解得y后再代入(1)中，便能解出x.

2.消常數項:當兩方程中的常數項相等或互為相反數時，宜用加減法消去常數項再求解.

例7 解方程組5x-y=110， (1)9y-x=110. (2)

解:(2)-(1)得:10y-6x=0，即y=0.6x. (3)

把(3)代入(2)得:x=25.

把x=25代入(3)得:y=15.

所以原方程組的解是x=25，y=15.

3.構造新方程:當兩方程中兩個未知數的系數和(或差)相同或互為相反數時，宜通過加減構造一個新的簡單的方程求解.

例8 解方程組4x+7y=222， (1)5x+6y=217. (2)

解:(2)-(1)得:x-y=-5. (3)

(1)+(3)×7得:11x=187.解得x=17.

把x=17代入(3)得:y=22.

所以原方程組的解是x=17，y=22.