現(xiàn)代認(rèn)知觀下的原型、變式與數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)

一、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)概念的重要任務(wù)就是區(qū)分事物或事件的有關(guān)屬性和無關(guān)屬性，發(fā)現(xiàn)有關(guān)屬性結(jié)合的規(guī)則[1]。關(guān)于概念是如何獲得的，心理學(xué)對(duì)概念學(xué)習(xí)的研究可區(qū)分為“①以兒童為主的概念形成過程，主要是在日常生活或教學(xué)過程中研究?jī)和莆宅F(xiàn)實(shí)概念的過程(自然概念)。②成人的概念形成過程，主要是在實(shí)驗(yàn)室研究成人掌握的概念”。即把概念分成兩大類:一類是兒童經(jīng)過個(gè)人活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自然獲得的，他們可以知道概念是什么，但無法準(zhǔn)確給出定義;另一類是通過學(xué)校教育，在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，給出定義的概念，這種概念有明確的屬性與屬性結(jié)合規(guī)則。暫且，把前一類概念稱為自然概念，其獲得方式為概念形成，后一類概念為科學(xué)概念，其獲得方式為概念同化。

維果茨基認(rèn)為“由于科學(xué)的概念和自發(fā)的概念與兒童的經(jīng)驗(yàn)有著不同的聯(lián)系，而且在兒童對(duì)事物的看法上，有著不同的影響。”[2]來自于兒童日常生活中的經(jīng)驗(yàn)與來自于從數(shù)學(xué)活動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn)盡管有著密切的聯(lián)系，但是又有著質(zhì)的區(qū)別。“概念是在全然不同的內(nèi)部條件和外部條件下形成發(fā)展的，這取決于它們是源自課堂教學(xué)還是源自于兒童自己的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)”，“當(dāng)兒童在學(xué)校里同化概念和當(dāng)兒童自行其是形成概念時(shí)，他的心理面臨不同的問題。當(dāng)我們把系統(tǒng)的知識(shí)傳遞給兒童時(shí)，我們教他許多無法直接看到或經(jīng)歷過的東西”[2]。由此，維果茨基提出，“最有希望的方法似乎是研究科學(xué)概念，這些科學(xué)概念是用人為概念方式，在我們眼下形成的真實(shí)概念。”數(shù)學(xué)概念本身具有更特別的地方。一方面，其中有人為概念方式，而且最終表示形式是經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)加工的人工概念。另一方面，它們又是兒童通過活動(dòng)經(jīng)歷而形成的真實(shí)概念。

因而數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)既要體現(xiàn)自然概念學(xué)習(xí)的過程性，又要體現(xiàn)定義性概念的規(guī)則性。

二、原型與變式

1.原型的含義與類型

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)把概念和類別分為兩大類，一類是自然概念，一類是人工概念。“經(jīng)典理論認(rèn)為，概念是由標(biāo)準(zhǔn)特征來定義的，標(biāo)準(zhǔn)特征是概念的一個(gè)組成部分，是用來確定某一具體樣例屬于該類別的必要或充分條件，人工概念具有這種特點(diǎn)，自然類別卻沒有這種特點(diǎn)。LudwigWittgenstein(1953)研究認(rèn)為，自然概念具有一種“家族相似性\"的特征。“家族相似性表明，類別是由一組彼此似乎相關(guān)的具體特征構(gòu)成的。”[3]現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)借鑒了這種觀點(diǎn)。Rosch把那些比其他所有成員具有的類別特征都多的成員稱之為該類別的原型。她認(rèn)為:“原型在類別中占有特殊的地位，因?yàn)樗穷悇e的‘中心’，是概念的‘概括表象’。[3]”所謂中心性是“一些類別成員相對(duì)于其他成員而言，是該類別更好的樣例”。中心成員往往比距離較遠(yuǎn)或邊緣的成員更容易獲得，在運(yùn)用時(shí)，想到概念最多的是中心成員。原型在概念學(xué)習(xí)中具有重要的地位，甚至有人指出:“兒童似乎最先是從成人指出的最好的例子或原型中學(xué)習(xí)真實(shí)世界中的概念的。”[4]由于數(shù)學(xué)概念具有自然概念的特征，所以數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中同樣具有原型性。對(duì)于一元二次方程，學(xué)生最先想起的是ax2+bx+c=0型的方程，而對(duì)于x2=0的判定時(shí)間要長(zhǎng)一些。因?yàn)閍x2+bx+c=0和x2=0相比，具有一元二次方程的更多的共同特征，而x2=0卻發(fā)生異變。ax2+bx+c=0具有標(biāo)準(zhǔn)性、中心性。它是一元二次方程類別中的最佳實(shí)例。由以上分析可知，數(shù)學(xué)概念原型可以定義為“具有表征數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的最典型的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)例”，它是數(shù)學(xué)概念的所有例子的中心樣例，能充分體現(xiàn)概念的所有特征。典型性和標(biāo)準(zhǔn)性是原型的兩個(gè)主要特征。例如:一元二次方程2x2+3x+1=0就比較具有典型性和標(biāo)準(zhǔn)性，而x2=0，x2+1=0，x2+x=0就不具有原型性。

數(shù)學(xué)概念原型的類型。中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于每一個(gè)概念出現(xiàn)的場(chǎng)景不同，其原型不一定相同。

(1)實(shí)例原型。包括實(shí)物模型，故事原型等。如，溫度計(jì)就構(gòu)成了正負(fù)概念的原型，免子故事就構(gòu)成斐波那契數(shù)列的原型。

(2)圖像原型。包括幾何圖形，函數(shù)圖像，及其他示意圖等。

(3)表達(dá)式原型。許多數(shù)學(xué)概念是以“式”的形式給出的。因?yàn)檫@些概念的標(biāo)準(zhǔn)形式便構(gòu)成了概念的原型。

(4)操作型原型。例定積分的概念是以操作過程為原型的。

(5)程序式原型。主要是與運(yùn)算有關(guān)的數(shù)學(xué)概念。如，乘法的原型往往與一定的程序相對(duì)應(yīng)。

(6)歸納式原型。以若干實(shí)例構(gòu)成，這些實(shí)例的集合就構(gòu)成該概念的原型。例“5，a，4a，a+b，a2，像這樣的式子都是代數(shù)式。”[5]

三、變式的含義與類型

原型在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中具有積極作用，實(shí)際上是與數(shù)學(xué)概念具有自然概念的特征相聯(lián)系的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念最終必須掌握其本質(zhì)屬性，這些本質(zhì)屬性在概念的例子中是相同的，但由于許多無關(guān)特征的干擾，使得概念的本質(zhì)屬性往往隱藏很深，僅從原型的標(biāo)準(zhǔn)特征上難以真正把握其本質(zhì)屬性。因此，必須通過各種變式比較，排除由具體對(duì)象本身的非本質(zhì)屬性所造成的干擾，才能充分提示概念的本質(zhì)屬性，真正形成概念。在概念學(xué)習(xí)過程中，這些帶有大量的非本質(zhì)屬性的概念實(shí)例就構(gòu)成了概念的變式。

所謂變式是“指概念的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化”[5]，“是變更對(duì)象的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，變更事物的角度或方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱藏的本質(zhì)要素”。相對(duì)于概念原型來說，非標(biāo)準(zhǔn)化，變化性是其主要特征。

變式大致可區(qū)分為概念本身形式的變化和概念的背景與環(huán)境的變化兩大類型。

概念自身形式的變化主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念的數(shù)量關(guān)系側(cè)面的非本質(zhì)屬性的變化上。包括:

(1)特殊化。對(duì)概念屬性中的有關(guān)數(shù)量、位置取特殊值、點(diǎn)。x2=0例是否為一元二次方程，圓的直徑是否為圓的弦等就反映概念的非本質(zhì)特征的數(shù)量側(cè)面的特殊化。

(2)一般化。對(duì)概念的有關(guān)數(shù)量、位置等形式推廣到一般情形。

(3)形式的“殘缺”。與原型或標(biāo)準(zhǔn)型相比，概念的許多肯定例證會(huì)出現(xiàn)形式上的“殘缺”。例方程x2+1=0為一元二次方程。

另外，概念的背景與環(huán)境變化主要表現(xiàn)在概念的空間形式，物理性質(zhì)，以及與概念相聯(lián)系的其他概念的變化上。

(4)物理性質(zhì)的變化。例黑板的上下兩邊，木門的框與平行線概念相連。

(5)空間形式變化。

(6)背景復(fù)雜變化。

四、原型與變式對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的影響

原型與變式對(duì)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的影響主要集中在概念的相關(guān)特征與無關(guān)特征的一致與否上。

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)就是要通過表面上無關(guān)特征的不一致性去尋找本質(zhì)特征的一致性。

原型對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的影響有兩個(gè)方面。一方面，原型有利于概念本質(zhì)屬性的確立。在學(xué)習(xí)之初，通過原型的標(biāo)準(zhǔn)性與典型性可以充分提示概念的本質(zhì)屬性，并且能恰當(dāng)?shù)亟⒏拍畹恼_的典型的“表象”。這時(shí)原型具有直觀性、示范性。另一方面，原型也阻礙學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，容易形成定勢(shì)、僵化的認(rèn)識(shí)，容易把最為“豐富”的原型的所有特征都當(dāng)作本質(zhì)特征，容易造成標(biāo)準(zhǔn)的、完美的、完整的形象而忽視概念的本質(zhì)屬性。對(duì)于許多新的問題，他們會(huì)不自覺地將之化為原型，再作判斷。這樣就增加了思維的惰性，并沒有真正認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性。

變式對(duì)于概念學(xué)習(xí)的影響作用也表現(xiàn)為兩個(gè)方面。其一是變式可以改變學(xué)生的“原型”思維模式，抓住概念的本質(zhì)屬性，對(duì)概念理解透徹。其二是變式對(duì)概念學(xué)習(xí)也有限制作用。變式中的無關(guān)特征增多，特殊化成分增多，本質(zhì)特征就比較隱蔽，不如“原型”那樣明顯、典型、標(biāo)準(zhǔn)。

在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，“原型”與“變式”不可以分離。用原型可以揭示概念的本質(zhì)屬性，用變式可對(duì)概念本質(zhì)屬性加深認(rèn)識(shí)，分辨清晰。這兩種形式相互作用，共同促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)與運(yùn)用。

教學(xué)概念時(shí)，先以原型給學(xué)生建立概念的標(biāo)準(zhǔn)與典型的表象，再輔以變化，從各個(gè)側(cè)面充分認(rèn)識(shí)這個(gè)原型的“真實(shí)面目”——本質(zhì)特征，最終讓學(xué)生在大腦中保持著概念的本質(zhì)屬性的原型作為表象。同時(shí)，通過各種變式的干擾，使學(xué)生對(duì)所建立的概念表象有清晰的認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 樂國(guó)安.現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于概念獲得的某些研究.心理學(xué)動(dòng)態(tài)，1985(4):1～7.

[2] 維果茨基.思維與語(yǔ)言.李維譯.杭州:浙江教育出版社，1997:97.

[3] JohnB.Best.認(rèn)知心理學(xué).黃希庭譯.北京:中國(guó)輕工業(yè)出版社，2000:341.

[4] 陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué).北京:北京師范大學(xué)出版社，1997:141.

[5] 邵瑞珍.教育心理學(xué)-學(xué)與教的原理.上海:上海教育出版社，1983:82.

(責(zé)任編輯楊子)