解函數探索題的數學思想

數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學知識的精髓，是將知識轉化為能力的橋梁.解決函數探索題問題經常用到各種基本數學思想，掌握這些數學思想有利于提高分析問題和解決問題的能力.下面介紹數學思想在解函數探索題問題中的應用，供大家參考.

一、方程與不等式思想

就是分析問題中的變量之間的關系，建立方程或不等式（組），通過解方程或不等式（組），以及運用方程或不等式的性質去分析、轉化問題，使問題得到解決.

例1 是否存在實數a、b、c，使函數fx＝ax2+bx+c的圖象過點M（－1，0），且滿足條件：對一切x∈R，都有x≤fx≤12x2+1，并證明你的結論.

分析 由條件函數fx＝ax2+bx+c的圖象過點M（－1，0），可得方程a－b＋c＝0；又由條件對一切x∈R，都有x≤fx≤12x2+1，可得關于a、b、c的不等式組.這樣就把問題轉化為方程和不等式問題，解方程和不等式就可得到結果.

解 將M點的坐標代入函數式得a－b＋c＝0①又x≤fx≤12x2+1對一切x∈R都成立.令x＝0得，0≤c≤12②.令x＝1得，1≤a＋b＋c≤1，即a＋b＋c＝1③.由①和③得b＝12，c＝12－a④.由于對一切x∈R，都有x≤fx≤12x2+1，所以不等式組fx≥x，fx≤12x2+1.即2ax2－x+1－2a≥0，1－2ax2－x+2a≥0.⑤的解集為R.當a＝0或a＝12時，該不等式組不能對一切x∈R都成立，故a≠0，a≠12.當a≠0，a≠12時，不等式組解集為R，a必須滿足條件Δ1=1－8a1－2a≤0，Δ2=1－8a1－2a≤0.⑥即16a2－8a＋1≤0，4a－12≤0.所以a＝14.由④得c＝14.

由此可知，存在實數a＝14，b＝12，c＝14，使函數fx滿足題設條件.

評注 從不等式組⑤到不等式組⑥，如果漏掉等號，就得到相反的結論.

二、數形結合思想

在解函數探索題時，可以根據“式”的結構特征，構造相應的幾何圖形，并通過圖形的性質解決函數問題.

例2 已知函數fx＝log2 x+1x－1＋log2 x－1＋log2 p－x.

（1）是否存在實數p使函數fx有意義；

（2）fx是否存在最大值或最小值，如果存在，把它求出來，若不存在，說明理由.

分析（1）根據條件列……