導數——數學解題的“銳利武器”

導數是高中數學中重要的內容，是解決函數問題的重要工具，而不等式、方程、三角和數列等與函數又有著千絲萬縷的聯系，在處理與它們有關的綜合性問題時往往需要利用函數的性質，因此，很多時侯可以利用導數作為工具來研究函數性質，從而解決與之有關的問題.因此導數在解決這些問題時具有很強的優越性，同時也是解決實際問題的強有力的數學工具.運用導數的有關知識先研究相關函數的性質（如單調性、極值和最值等），從而為其他數學問題的解決提供了一個“銳利”的武器.

下面具體討論導數在解決這些相關的問題時的作用.

一、直接利用導數解決與函數有關的問題

（1）利用導數求曲線上某點處的切線問題

例1 設函數f(x)=ax－bx，曲線y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12=0.（Ⅰ）求y=f(x)的解析式；（Ⅱ）證明：曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.

析：利用導數的幾何意義是某點處切線的斜率及切點在曲線上易求得a，b的值；然后設出切點，求出切線，計算圍成的圖形面積與切點無關即可.

解：（Ⅰ）f′(x)=a+bx2，當x=2時，y=12．

于是2a－b2=12，a+b4=74，解得a=1，b=3.故f(x)=x－3x．

（Ⅱ）設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′=1+3x2知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為

y－y0=1+3x20(x－x0)，即y－x0－3x0=1+3x20(x－x0)．

令x=0得y=－6x0，從而得切線與直線x=0的交點坐標為0，－6x0．

令y=x得y=x=2x0，從而得切線與直線y=x的交點坐標為(2x0，2x0)．

所以點P(x0，y0)處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為

12－6x02x0=6．故定值為6．

練習：曲線y=1x和y=x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是 .（答案：34）

（2）利用導數求函數的單調區間，極值、最值等問題