二次問題的解題策略

在江蘇省高考考試說明中，已經將一元二次不等式內容列為C級要求，而在高中數學中，一元二次不等式、一元二次函數與一元二次方程被統稱為二次問題.本文就以近年的高考試題為例，談談解決二次問題的一般方法.

1.基本方法——直接求解，化歸為求解方程法

例1 （2006年高考全國卷（Ⅱ）文科第21題）設a∈R，函數f(x)=ax2－2x－2a，若f(x)>0的解集為A，B={x|1

解：由f（x）為二次函數知a≠0，令f（x）＝0解得其兩根為x1=1a－2+1a2，x2=1a+2+1a2，由此可知x1<0，x2>0.

（1）當a>0時，A={x|xx2}A∩B≠的充要條件是x2<3，

即1a+2+1a2<3解得a>67.

（2）當a<0時，A={x|x11，

即1a+2+1a2>1解得a<－2.

綜上，使A∩B≠成立的a的取值范圍為(－∞，－2)∪(67，+∞).

點評：這條題目的要求與常見到的恒成立的問題并不相同，它是一個不等式能成立的問題.即只要集合A、B的交集不是空集就可以了.

2.常用方法——變量分離，化歸為函數最值法

例2 (2005年高考山東卷理科第19題)已知x=1是函數f(x)=mx3－3(m+1)x2+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m<0，當x∈－1，1時，函數y=f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍.

解：由已知f′(1)=0，得n=3m+6，f′(x)>3m，即mx2－2(m+1)x+2>0恒成立.

又m<0所以x2－2m(m+1)x+2m<0，x∈－1，1①

設g(x)=x2－2(1+1m)x+2m，其函數開口向上，由題意知①式恒成立，

所以g(－1)<0g(1)<01+2+2m+2m<0－1<0解之得－43

即m的取值范圍為－43，0.

點評：求二次函數在某區間上的最值問題，要看開口方向，對稱軸在該區間的相對位置，即對稱軸在區間的左側、右側、區間內，故而引起分類討論.二次函數在閉區間上必存在最大值和最小值，它們分別在端點或頂點處取得，這類問題可以融分類討論、參數思想、數形結合思想等重要的數學思想方法于一題之中，有利于考查綜合運用知識的化歸能力，它是高考命題的一個熱點.

例3 (2002年高考江蘇卷第22題)已知a＞0，函數f（x）＝ax－bx2．

（1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2b；……