“斐波那契”狂想

● 教學(xué)內(nèi)容分析

看到這個(gè)課題，很多人都會(huì)誤認(rèn)為這是數(shù)學(xué)課。其實(shí)，它是信息技術(shù)校本課程中的一課。開(kāi)設(shè)信息技術(shù)校本課程，不少信息技術(shù)教師都會(huì)選擇類似信息技術(shù)前沿探究、動(dòng)畫(huà)處理、網(wǎng)頁(yè)制作和視頻處理等專題，這些內(nèi)容雖然從一定程度上延伸了信息技術(shù)課堂，但總體讓人感覺(jué)缺乏新意，對(duì)學(xué)生的吸引力也不足。于是，我從創(chuàng)意入手，設(shè)計(jì)了一系列專題課程，自己編寫(xiě)教材，讓學(xué)生在生動(dòng)而富有創(chuàng)意的課堂內(nèi)容中，潛移默化地學(xué)會(huì)如何用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決學(xué)習(xí)、生活中遇到的問(wèn)題，更重要的是學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)。《“斐波那契”狂想》就是系列專題中的精彩一課。

● 教學(xué)對(duì)象分析

教學(xué)對(duì)象是高一年級(jí)學(xué)生，他們?cè)诹x務(wù)教育階段進(jìn)行了較為系統(tǒng)的信息技術(shù)課程的學(xué)習(xí)，基本掌握了文本、多媒體的采集與加工技術(shù)，但從未上過(guò)信息技術(shù)校本課程，對(duì)該課程充滿好奇。此外，由于數(shù)學(xué)課程還未講授“斐波那契數(shù)列”的相關(guān)知識(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)該內(nèi)容不了解，有利于課題的引入及情境的創(chuàng)設(shè)。

● 教學(xué)目標(biāo)

了解“斐波那契數(shù)列”所涉及的各領(lǐng)域的知識(shí)，學(xué)會(huì)用其解決學(xué)習(xí)、生活中遇到的問(wèn)題。

學(xué)會(huì)利用信息技術(shù)提高工作效率，美化生活。

擺正學(xué)習(xí)態(tài)度，將學(xué)習(xí)放眼于個(gè)人的全面發(fā)展，而非功利化的考試目的。

● 教學(xué)過(guò)程

（一）揭密“斐波那契”

1.什么是“斐波那契”

師：“斐波那契”是一個(gè)人名，他是意大利著名的數(shù)學(xué)家。1202年，他撰寫(xiě)了著名的《算盤書(shū)》。在這本書(shū)中記載了一個(gè)世界著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，叫作“兔子問(wèn)題”。

設(shè)計(jì)意圖：剛剛踏入高一的學(xué)生對(duì)“斐波那契”并不了解，而專題的名稱“‘斐波那契’狂想”讓學(xué)生感到非常好奇。因此，課堂從對(duì)“斐波那契”的揭密開(kāi)始，進(jìn)一步通過(guò)“兔子問(wèn)題”深入探討斐波那契數(shù)列。

2.“兔子問(wèn)題”呈現(xiàn)

師：我們一起來(lái)看看“兔子問(wèn)題”（見(jiàn)圖1）：假設(shè)有一對(duì)兔子，從出生后第3個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月都生一對(duì)小兔子。小兔子到第三個(gè)月又開(kāi)始生下一代小兔子。假設(shè)兔子只生不死，每個(gè)月各有多少對(duì)兔子？

學(xué)生打開(kāi)Excel，模仿效果圖，建立表格，嘗試計(jì)算12個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)，并填入表中，然后觀察計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)有什么規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中先將“兔子問(wèn)題”拋出來(lái)，讓學(xué)生嘗試通過(guò)自己的思考來(lái)解決問(wèn)題。

在毫無(wú)提示的情況下，要完全算出12個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)有一定難度，這為下個(gè)環(huán)節(jié)的分析埋下伏筆。

3.動(dòng)畫(huà)演示，揭示奧秘

師：通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示算出前7個(gè)月的兔子數(shù)。第1個(gè)月，有1對(duì)兔子；第2個(gè)月，因?yàn)橥米舆€不能生育，仍然是1對(duì)兔子；第3個(gè)月，大兔子生了一對(duì)小兔子，柵欄里有2對(duì)兔子；第4個(gè)月，大兔子又生了一對(duì)小兔子，而上月出生的小兔子還不能生育，柵欄里有3對(duì)兔子；第5個(gè)月，原來(lái)的大兔子又生了一對(duì)小兔子，而第3個(gè)月出生的兔子已經(jīng)成熟，也生了一對(duì)小兔子，這時(shí)共有5對(duì)兔子……我們將前7個(gè)月的兔子數(shù)列在表中，觀察這組數(shù)有什么特點(diǎn)。

生：從第3個(gè)月開(kāi)始每個(gè)月的兔子數(shù)都是緊臨的前兩個(gè)月兔子數(shù)之和。

師：發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律后，你能快速告訴我8～12月的兔子數(shù)嗎？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)完成表格的填寫(xiě)，看看誰(shuí)填得最快，并告訴我第12月的兔子數(shù)是多少。

學(xué)生按照規(guī)律，在Excel表格中填寫(xiě)每個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)。做得快的學(xué)生已經(jīng)忍不住喊出了最終的結(jié)果：“第12個(gè)月的兔子數(shù)是144對(duì)。”

師：這12個(gè)月兔子對(duì)數(shù)形成的數(shù)列就是世界上非常有名的“斐波那契數(shù)列”。它的定義是：若一個(gè)數(shù)列，首兩項(xiàng)等于1，而從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列。斐波那契本人并沒(méi)有把“兔子問(wèn)題”和“斐波那契數(shù)列”看得特別重要。在《算盤書(shū)》中，“兔子問(wèn)題”只不過(guò)是書(shū)里許多問(wèn)題中并不特別的一個(gè)。但是，在以后的歲月中，這個(gè)數(shù)列似乎和高產(chǎn)兔子一樣，引發(fā)了為數(shù)眾多的數(shù)學(xué)論文和介紹文章。“斐波那契數(shù)列”成為數(shù)學(xué)中最奇特和最常出現(xiàn)的數(shù)列。美國(guó)數(shù)學(xué)家出版了一份專門研究它的季刊，稱為《斐波那契季刊》（Fibonacci Quarterly），里面登載了關(guān)于這種數(shù)列最近新發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)。

剛才，我觀察到大多數(shù)同學(xué)都是通過(guò)手動(dòng)輸入的方法，在Excel表中列出兔子對(duì)數(shù)的，幸好列出是12個(gè)月的兔子數(shù)，要是列出200個(gè)月的兔子數(shù)，我相信不少同學(xué)就會(huì)皺眉頭了。這種低效方式顯然不能滿足我們的需要。既然使用計(jì)算機(jī)，我們就要發(fā)揮出它的優(yōu)勢(shì)來(lái)，所以，我們要思考一種方法可以快速完成任務(wù)。

根據(jù)所總結(jié)出來(lái)的數(shù)列規(guī)律，在Excel中運(yùn)用公式，快速算出結(jié)果。具體操作見(jiàn)圖2：在第3個(gè)月的兔子數(shù)中輸入“＝1＋1”，在第4個(gè)月的兔子數(shù)中輸入“＝2＋1”，我們發(fā)現(xiàn)并沒(méi)有提高效率，反而使效率更低了。有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法，能夠通過(guò)公式復(fù)制完成而不必一個(gè)一個(gè)地輸入公式呢？那就是“公式＋引用單元格”的方法。具體操作：在第3個(gè)月的兔子數(shù)中輸入“＝B2＋B3”，然后用“填充柄”進(jìn)行公式復(fù)制，快速求出結(jié)果，瀏覽單元格，發(fā)現(xiàn)單元格數(shù)會(huì)自動(dòng)累加，這就是公式復(fù)制的快捷之處。

學(xué)生用公式復(fù)制的方法，嘗試列出12個(gè)月和50個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生可以充分領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的魅力，同時(shí)，還學(xué)會(huì)了如何用信息技術(shù)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。用信息技術(shù)解決問(wèn)題的方法多種多樣，還要學(xué)會(huì)尋找最優(yōu)的方法來(lái)解決問(wèn)題。

4.編制程序計(jì)算兔子對(duì)數(shù)

師：用Excel的公式復(fù)制解決兔子問(wèn)題，我們已經(jīng)覺(jué)得很方便了，其實(shí)還有一種更為高效的方法，能立即呈現(xiàn)結(jié)果，就是用編程的方法來(lái)解決問(wèn)題。

程序演示：點(diǎn)擊按鈕就能迅速呈現(xiàn)出12個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)。（見(jiàn)圖3）

分析源程序：第1行語(yǔ)句定義數(shù)組；因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列的規(guī)律是從第三項(xiàng)開(kāi)始的，所以，我們把前兩項(xiàng)數(shù)組賦值為1，并將它們打印出來(lái)，然后，通過(guò)一個(gè)循環(huán)語(yǔ)句，利用遞推關(guān)系式計(jì)算出隨后10個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)，并依次將結(jié)果顯示在屏幕上。

操作演示：新建工程，放置按鈕，雙擊按鈕復(fù)制代碼，運(yùn)行測(cè)試效果，保存生成可執(zhí)行程序。

學(xué)生在VB中添加窗口、按鈕并撰寫(xiě)代碼，嘗試改變?cè)路輸?shù)為50，解決窗口運(yùn)行呈現(xiàn)問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)掀起本課的一個(gè)小高潮。學(xué)生此刻已經(jīng)深深被信息技術(shù)的魅力所吸引。短短的幾句代碼就能實(shí)現(xiàn)如此神奇的效果，讓還沒(méi)接觸編程的高一學(xué)生毫無(wú)障礙地“摘到桃子”，享受到成功的喜悅。

（二）探索大自然中的斐波那契數(shù)列

師：在自然世界中，植物似乎對(duì)斐波那契數(shù)著了迷。植物的花、葉、枝條、果實(shí)、種子等形態(tài)特征，都可發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)。最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或樹(shù)葉。薊的頭部具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋，還有我們食用的蔬菜，如青菜、包心菜、芹菜等的葉子排列也具有這個(gè)特性。觀察向日葵的花盤，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其種子排列組成了兩組相嵌在一起的螺旋線，一組是順時(shí)針?lè)较颍唤M是逆時(shí)針?lè)较颉Ｔ贁?shù)數(shù)這些螺旋線的數(shù)目，雖然不同品種的向日葵會(huì)有所不同，但是每組數(shù)字都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)。再看看菠蘿、松果上的鱗片排列，雖然不像向日葵花盤那么復(fù)雜，也存在類似的兩組螺旋線，其數(shù)目通常是8和13。有時(shí)候這種螺旋線不是那么明顯，需要仔細(xì)觀察才會(huì)注意到。（見(jiàn)圖4）

數(shù)學(xué)家澤林斯基發(fā)現(xiàn)樹(shù)枝生長(zhǎng)的“斐波那契”規(guī)律。他說(shuō)，當(dāng)你漫步在樹(shù)林之中時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：由于新生的枝條往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹(shù)苗在一段間隔，如一年，以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過(guò)一年的新枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹(shù)木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。

植物有這種生長(zhǎng)特性，難道是因?yàn)檫@些植物懂得斐波那契數(shù)列？當(dāng)然不是，是因?yàn)檫@樣的布局能使植物的生長(zhǎng)疏密得當(dāng)、最充分地利用陽(yáng)光和空氣，所以，很多植物都在億萬(wàn)年的進(jìn)化過(guò)程中演變成了如今的模樣。當(dāng)然，受氣候或病蟲(chóng)害的影響，真實(shí)的植物往往沒(méi)有完美的斐波那契螺旋。但是，我們可以借助計(jì)算機(jī)來(lái)繪制完美的斐波那契螺旋。

設(shè)計(jì)意圖：大自然中的植物如此鐘愛(ài)斐波那契數(shù)，給學(xué)生帶來(lái)了不小的震撼。學(xué)生在欣賞自然美的同時(shí)，學(xué)習(xí)了如何通過(guò)軟件繪制完美的斐波那契螺旋。

（三）斐波那契與黃金分割

師：為什么植物如此偏愛(ài)斐波那契數(shù)？這和另一個(gè)更古老的、早在古希臘就被人們注意到甚至去崇拜它的另外一個(gè)“神秘”數(shù)字有關(guān)。圖5有幾個(gè)長(zhǎng)方形，比較一下它們的大小形狀，你認(rèn)為哪一個(gè)形狀最好看呢？

生：選E！選A……

師：在100多年前，德國(guó)的一個(gè)心理學(xué)家文特做了這樣一個(gè)試驗(yàn)，它把這些形狀各異的長(zhǎng)方形給很多人選擇，結(jié)果，幾乎所有的人都選擇了圖形E。尤其是文化素養(yǎng)越高的人，這種愛(ài)好就越集中。圖形E的長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)的比大約是2∶3，這個(gè)比例常被人們稱為“黃金分割比”。

黃金比的研究可追溯至公元前的古希臘時(shí)期，它的定義是：設(shè)AB是一條線段，今將線段AB分割成兩段，使短段：長(zhǎng)段＝長(zhǎng)段：全段。這樣的分割方式叫做黃金分割，而這一比值就稱為黃金比，也就是0.618∶1，0.618被數(shù)學(xué)家稱為“黃金數(shù)”（見(jiàn)圖6）。

同學(xué)們還記不記得，用直尺和圓規(guī)如何找出黃金分割點(diǎn)？

學(xué)生在黑板上繪制，過(guò)B點(diǎn)作一條直線垂直AB，然后在這條直線上取線段BD，使得BD的長(zhǎng)是AB的一半，然后我們聯(lián)結(jié)AD。我們?cè)僖訢為圓心，DB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)一個(gè)弧。這個(gè)弧交AD于E點(diǎn)，然后，再以A為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，這個(gè)弧交AB于C點(diǎn)，C點(diǎn)就是我們所要找的將AB黃金分割的點(diǎn)。

師：前面老師講到，與斐波那契相關(guān)的古希臘崇拜的“神秘”數(shù)字就是黃金數(shù)。它們彼此有什么關(guān)系呢？同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，如果我們計(jì)算相鄰兩個(gè)斐波那契數(shù)的比，它們?cè)絹?lái)越接近黃金分割比0.618∶1。我想植物喜愛(ài)斐波那契數(shù)，實(shí)際上是因?yàn)橄矏?ài)黃金數(shù)。這是為什么呢？也許是上帝想讓世界充滿美與和諧吧。其實(shí)，黃金分割比在幾何、大自然、藝術(shù)、生活中處處可見(jiàn)。黃金三角形：頂角為36°角的等腰三角形，其底與腰之比恰為黃金比。（見(jiàn)圖7）大自然的鬼斧神工處處都留下了黃金分割的痕跡：楓葉的葉脈和葉子寬度的比例，蝴蝶身長(zhǎng)和翅寬的比例都成黃金比例0.618。此外，以0.618為比例擴(kuò)張的螺旋也被成為黃金螺旋（見(jiàn)圖8）。你有沒(méi)有注意到，電視新聞播報(bào)時(shí)，主播的位置經(jīng)常被安排在畫(huà)面的黃金分割點(diǎn)，而非正中央。

在藝術(shù)領(lǐng)域里更是神奇。蒙娜麗莎完美的黃金比例，流露著莊嚴(yán)、和諧、神秘的氣質(zhì)；芭蕾舞演員頂起腳尖，正是為了使人體的上下身之比更符合黃金比。像二胡、提琴這樣的弦樂(lè)器，當(dāng)樂(lè)師們把它們的碼子放在黃金分割比的分點(diǎn)上時(shí)，樂(lè)器發(fā)出的聲音是最動(dòng)人美麗的。同學(xué)們，你們知道嗎？我們的國(guó)歌《義勇軍進(jìn)行曲》的高潮部分正好處在全曲的黃金分割點(diǎn)上，所以，我們?cè)诔獓?guó)歌的時(shí)候也在分享著黃金分割的魅力。建筑師們?cè)缇投檬褂命S金分割比了。在公元前3000年建成的埃及法老胡夫的金字塔（埃及金字塔為正四角錐體，塔高與底部正方形邊長(zhǎng)之比為黃金比，足見(jiàn)公元前兩千多年的人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了黃金比）和公元前432年建成的雅典帕特農(nóng)神廟就采用了這個(gè)神奇之比。因此，它們的整個(gè)結(jié)構(gòu)以及它們與外界的配合是那樣的和諧美觀。據(jù)研究，從猿到人的進(jìn)化過(guò)程中，骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大，軀體外形由于近似黃金比而變化最小。古希臘人早就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)人體比例的奧秘并將它充分運(yùn)用于藝術(shù)雕塑中。維納斯雕像，象征著愛(ài)與美的女神，被視為女性體型美的標(biāo)準(zhǔn)。人的肚臍位于人體身高的黃金分割點(diǎn)。肚臍以上，頸部是黃金分割點(diǎn)；肚臍以下膝蓋是黃金分割點(diǎn)。還有，人在精神愉快時(shí)的腦電波頻率下限約8赫茲，上限約12.9赫茲，上下限之比近于黃金比。舒張壓與收縮壓之比近似黃金比。難怪符合此比例的人、事物都非常順眼。

（四）搶答互動(dòng)環(huán)節(jié)

師：請(qǐng)回答以下問(wèn)題：

（1）報(bào)幕員應(yīng)站在舞臺(tái)的什么地方報(bào)幕最佳？

生：根據(jù)黃金分割，應(yīng)站在舞臺(tái)寬度的0.618處。

（2）高清晰度電視的屏幕為什么要設(shè)計(jì)成16∶9？

生：因?yàn)槿魧⑵聊坏拈L(zhǎng)與寬組成一條線段，取這條線段的黃金分割點(diǎn)，將線段分成兩條線段，則屏幕的長(zhǎng)與寬剛好接近它。

（3）請(qǐng)問(wèn)大熱天開(kāi)空調(diào)應(yīng)調(diào)在什么溫度最佳？

生：人的正常體溫是37.5度，37.5×0.618=23.175，這個(gè)溫度最佳。

（4）為什么許多國(guó)家都喜歡在國(guó)旗上繡五角星？

生：因?yàn)槲褰切鞘呛苊赖膸缀螆D形，其中由五條線段相交的五個(gè)點(diǎn)剛好是這五條線段的黃金分割點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：由斐波那契數(shù)列引出與其密切相關(guān)的“黃金分割”，“黃金分割”在大自然和人類生活中所呈現(xiàn)的美，讓學(xué)生嘆為觀止。

（五）課外拓展

師：斐波那契數(shù)列有許多奇妙的性質(zhì)，其中有一個(gè)性質(zhì)是這樣的：

F_n-F_n+1·F_n-1=（-1）ⁿ⁺¹（n＞1）

斐波那契數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)，常被用來(lái)構(gòu)造一些極為有趣的智力游戲。美國(guó)《科學(xué)美國(guó)人》雜志刊載過(guò)一則故事：一位魔術(shù)師拿著一塊邊長(zhǎng)為8英尺的正方形地毯，對(duì)他的地毯匠朋友說(shuō)：“請(qǐng)您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長(zhǎng)13英尺、寬5英尺的長(zhǎng)方形地毯。”這位匠師對(duì)魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因?yàn)椋瑑烧咧g面積相差達(dá)一平方英尺呢！可是魔術(shù)師竟讓匠師用圖9和圖10的辦法達(dá)到了他的目的！這真是不可思議的事！你猜得到，那神奇的1平方英尺究竟跑到哪兒去了嗎？

● 教學(xué)反思

本課受歡迎程度如何？從課堂氣氛的熱烈和下課后的情景就可以深刻感受到。下課鈴響了，學(xué)生仍然意猶未盡，匯聚成小組對(duì)感興趣的問(wèn)題熱烈地進(jìn)行探討，遲遲不愿離去。可見(jiàn)，我的這次創(chuàng)意嘗試獲得了成功。整節(jié)課我和學(xué)生一起分享著我對(duì)“斐波那契”的狂想，讓學(xué)生在輕松活躍的思維暢游中，享受數(shù)學(xué)美、算法美、自然美、藝術(shù)美、生活美……看起來(lái)我似乎是在進(jìn)行美的熏陶，其實(shí)，我的真正目的并非僅局限于此。因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)迫于高考?jí)毫Γ簧俑咧猩荚凇八雷x書(shū)”，對(duì)知識(shí)點(diǎn)死記硬背，這樣學(xué)習(xí)真的很苦、缺乏樂(lè)趣。就拿“斐波那契數(shù)列”來(lái)說(shuō)，它本身是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，很多學(xué)生都點(diǎn)到為止，會(huì)解數(shù)學(xué)題就可以了，但它背后所蘊(yùn)含的巨大“寶藏”卻很少被學(xué)生問(wèn)津。如果像這堂課一樣，運(yùn)用發(fā)散思維，以這個(gè)知識(shí)點(diǎn)為圓心向四周擴(kuò)展，學(xué)生在一系列的探索當(dāng)中學(xué)到了很多領(lǐng)域的知識(shí)，而且逐漸學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)的“知識(shí)點(diǎn)”揭示許多奧秘，提高生活、工作效率，懂得用知識(shí)來(lái)欣賞藝術(shù)、享受生活，這才是學(xué)習(xí)的真正意義。其實(shí)，這種方法不僅僅局限于數(shù)學(xué)，其他學(xué)科的學(xué)習(xí)也可以如此。所以，本課的最終目標(biāo)是讓學(xué)生把所學(xué)知識(shí)的最大價(jià)值發(fā)揮出來(lái)。