含參數(shù)的一元二次不等式解法與應(yīng)用

一、含參數(shù)的一元二次不等式的解題方法舉例.

例1 解下列不等式

(1)ax2-2a+1x+2<0

(2)(m+1)x2-4x+1≤0

解(1)原不等式可化為ax-1x-2<0

當(dāng)a=0時(shí)，不等式可化為x>2;

當(dāng)a>0時(shí)，不等式可化為x-1ax-2<0

當(dāng)1a<2即a>12時(shí)，1a

當(dāng)1a>2即0

當(dāng)1a=2即a=12時(shí)，不等式無(wú)解;

當(dāng)a<0時(shí)，不等式可化為x-1ax-2>0;

此時(shí)x<1a或x>2

綜上得①當(dāng)a=0時(shí)，解集為2，+∞

②當(dāng)0

③當(dāng)a=12時(shí)，解集為

④當(dāng)a>12時(shí)，解集為1a，2

⑤當(dāng)a<0時(shí)，解集為-∞，1a∪2，+∞

(2)解:當(dāng)m+1=0即m=-1時(shí)，x≥14;

當(dāng)m+1≠0即m≠-1時(shí)，對(duì)應(yīng)一元二次方程(m+1)x2-4x+1=0中的Δ=16-4m+1=43-m>0得m<3.于是當(dāng)-13時(shí)，x∈;當(dāng)m<-1時(shí)，x≤2+3-mm+1或x≥2-3-mm+1;

綜上得①當(dāng)m<-1時(shí)，解集為-∞，2+3-mm+1∪2-3-mm+1，+∞;

②m=-1時(shí)，解集為14，+∞;

③當(dāng)-1

④m=3時(shí)，解集為12;

⑤m>3時(shí)，解集為.

注:解題中首先要按二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行第一次分類，然后按對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的大小與存在與否進(jìn)行二次分類，結(jié)論要有序完整.

練習(xí):(1)ax2-a+1x+1≤0

(2)56x2-ax-a2<0

(3)x-mx-m2>0

(4)x2-a+1ax+1<0

二、利用一元二次不等式的解集，求解末知的不等式舉例.

例2 已知不等式ax2+bx+2>0的解是-12<x<13，求2x2+bx+a<0的解集.

解:由題意得a<0-ba=-12+132a=-12×13a=-12b=-2，于是不等式為2x2-2x-12<0，即-2

注:這里關(guān)鍵是根據(jù)已知的解集來(lái)確定二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及系數(shù)間的關(guān)系，從而讓末知不等式變成已知不等式.

練習(xí):已知不等式ax2+bx+c>0的解集是x|α

三、函數(shù)定義域值域中含參數(shù)一元二次不等式求解舉例.

例3 (1)函數(shù)y=lgx2-2x+a的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

(2)函數(shù)y=lgx2-5x-b的值域是R，則b的取值范圍是 .

(3)關(guān)于x的代數(shù)式kx2-kx-1的值恒為負(fù)值，則k的取值范圍是 .

解:(1)由題意x2-2x+a>0對(duì)x∈R恒成立，則Δ=4-4a<0得a>1，所以a的取值范圍是1，+∞.

(2)由題意x2-5x-b要取遍所有正數(shù)，即u=x2-5x-b與x軸有交點(diǎn)，Δ=25+4b≥0，b≥-254，所以b的取值范圍是-254，+∞.

(3)由題意即kx2-kx-1<0對(duì)x∈R恒成立，當(dāng)k=0時(shí)不等式為-1<0成立;當(dāng)k<0時(shí)，有Δ=k2+4k<0得-4

練習(xí):(1)若函數(shù)f(x)=x+1kx2+4kx+3的定義域是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(2)已知關(guān)于x的不等式k2+4k-5x2+41-k+3>0的解集是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

四、含參數(shù)的一元二次不等式綜合應(yīng)用舉例.

例4 已知函數(shù)……