不等式易錯題剖解

不等式是高中數學的重要內容和強大工具，在高中數學中應用廣泛，有著不可替代的地位.不等式的應用深入到高中數學的每個知識章節，盤根錯節，如求函數的定義域，值域，研究函數的性質單調性，利用基本不等式求最值，求變量的范圍，比較大小，求數列的最大(小)項，解不等式，不等式恒成立等等許多方面，高中階段主要研究不等式的求解、證明以及不等式的應用.然而正是由于不等式的強大功能，同學們在處理與不等式有關問題時經常發生一些錯誤.下面就平時學習中常犯的錯誤，咱們來一次尋根究底吧.

一、錯因探析

(一)不等式的基本性質應用出錯

例1 求函數y=x2x2-x+1的值域.

錯解:由題:定義域為R，(1)x=0時，y=0;(2)x≠0時，y=1x2-x+1x2=11-1x+1x2=1(1x-12)2+34

∵(1x-12)2+34≥34，∴1(1x-12)2+34≤43，即y≤43.綜上:值域為(-∞，43].

錯誤分析:在由(1x-12)2+34≥34取倒數來求1(1x-12)2+34的范圍時，忽略了1(1x-12)2+34>0，即0<1(1x-12)2+34≤43，從而值域為[0，43].

例2 若1α<1β，則α與β的大小關系為 .

錯解1:由α的倒數小于β的倒數，所以α>β.

錯誤分析:忽視了結論若1α<1β，則α>β成立的條件:α與β都必須為正數或都必須為負數.

錯解2:由1α<1β，不等式兩邊同乘以αβ，得到β<α.

錯誤分析:不等式兩邊同乘以或除以一個變量或表達式時，變量或表達式符號必須確定，否則要分類討論.

正確解答:(1)當α，β均為正數時，不等式兩邊同乘以αβ，得到β<α;(2)當α，β均為負數時，不等式兩邊同乘以αβ，得到β<α;(3)當α<0，β>0時，不等式成立，∴α<β.

例3 已知x>1，則a=log23x，b=(32)x-1，c=(23)x從大到小的排列為 .

錯解:由x>1得a<0，b>1，0

錯誤分析:正確答案為b>c>a題目要求從大到小排列但許多同學常常審題不清，答非所問.這種按從大到小或從小到大的排列的錯誤率極高，極讓人……