數列典型例題解析

解答有關數列問題時，經常要運用各種數學思想.善于使用各種數學思想解答數列題，是我們在數列學習方面應達到的目標.

例1 已知a1=3且an=Sn-1+2n，求an及Sn.

解:∵an=Sn-Sn-1，∴Sn-2Sn-1=2n，∴Sn2n-Sn-12n-1=1

設bn=Sn2n則bn是公差為1的等差數列，∴bn=b1+n-1又∵b1=S12=a12=32，

∴Sn2n=n+12，∴Sn=(2n+1)2n-1，∴當n≥2時an=Sn-Sn-1=(2n+3)2n-2

∴an=3(2n+3)#8226;2n-2(n=1)(n≥2)，Sn=(2n+1)2n-1

注①函數思想:很多數列的通項公式與求和公式都可以看作是n的函數，所以有關數列的某些問題可以化為函數問題求解.這一點在求有關遞推數列時尤為重要。

注②分類討論思想:已知Sn求an時，也要進行分類;

例2 已知a1=1，Sn=n2an(n≥1)，求an及Sn.

解:an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1從而有an=n-1n+1an-1

∵a1=1，∴a2=13，a3=24×13，a4=35×24×13，a5=46×35×24×13，

∴an=(n-1)(n-2)#8226;…×3×2×1(n+1)n(n-1)#8226;…×4×3=2n(n+1)，∴Sn=n2an=2nn+1

數列計算是本章的中心內容，利用等差數列和等比數列的通項公式、前n項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容.數列求和的常用方法主要有公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。對于性質主要是理解(也就是說自己能推導出來)，具體運用時就能靈活自如.特別是推導過程中運用的方法，是我們研究其他數列的一種嘗試.如推導等差數列通項公式的“累差”法和推導等比數列通項公式的“累積”法，是我們求其他數列通項公式的一種經驗.又比如推導等差數列求和公式的“倒序相加法”和推導等比數列求和公式的“錯位相減法”都是數列求和的重要技巧.

例3 求和1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n.

解:am=112+3+…+n=2(1n-1n+1)

∴Sn=2(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1

注3:本題的關鍵是找數列的通項結構。重點把握通項公式和前n項和公式

例4 求和:S=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1.

解:Sn=1+2x+3x2+4x3+……+nxn-1①

xSn=x+2x2+3x3+……+n-1xn-1+nxn②

①(②1-xSn=1+x+x2+……+xn-1-nxn，

當x≠1時，1-xSn=1-xn1-x-nxn=1-xn-nxn+nxn+11-x=1-1+nxn+nxn+11-x

∴Sn=1-1+nxn+nxn+11-x2;

當x=1時，Sn=1+2+3+4+……n=n1+n2

注4:用等比數列求和公式應分為Sn=a1(1-qn)1-q(q≠1)及Sn=na1(q=1);

解決有關等差數列問題時，要注意an，Sn，d，n，a1之間的關系以及等差數列的性質。

例5 一個等差數列的前12項之和為354，前12項