數列高考熱點透視

針對高考中，數列的熱點問題作一分析與拓展，僅供同學們參考。

一、數列概念的拓展

數列是一種特殊的函數，是定義在正整數集上的離散函數，但它仍具備一般函數的性質，如單調性、最值等。

例1 已知數列an為公差d為1的等差數列，bn=1+anan n∈N*;

(1)若a1=-52，求數列bn的最大項和最小項的值;

(2)若對任意的n∈N*都有bn≤b8，求a1的取值范圍;

解:(1)bn=1+1an=1+1n-72

結合反比例函數的圖形可知:最大項為b4=3，最小項為b3=-1;

(2)bn=1+1an=1+1a1+(n-1)

因為對任意的n∈N*都有bn≤b8，結合反比例函數的圖形可得;

7<1-a1<8，即-7

例2 已知數列an各項都是正數，且滿足a0=1，an+1=12an(4-an)，n∈N

(1)證明:an

n∈N

(2)求數列an的通項公式an

剖析:(1)把an+1=12an(4-an)，n∈N看作一個函數:f(x)=12x(4-x)

由此啟發:an+1=12an(4-an)=-12a2n+2an=-12(an-2)2+2

因為a0=1<2∴a1<2同理可得a2<2

依次可得a3<2，a4<2，Λ，an<2，an+1<2

由于an+1-an=-12a2n+an=-12an(an-2)>0，∴an

(2)(an+1-2)=-12(an-2)2即2(2-an+1)=(2-an)2

兩邊取對數可得:lg(2-an+1)+lg2=2lg(2-an)

lg(2-an+1)-lg2=2lg(2-an)-lg2∴lg2-an+12=2lg2-an2

所以數列lg2-an2為等比數列且公比q=2;

∴lg2-an2=2nlg2-a02即an=2-(12)2n-1。

如果證明一個數列是等比數列(或等差數列)，僅用有限項作比(差)得出常數來判斷是錯誤的，必須要依據定義或通項公式來判定。這是數列的基本問題。

例3 數列an與bn的通項公式分別為an=2n，bn=3n+2(n∈N*)，它們的公共項由小到大排成的數列是cn。

(1)寫出數列cn的前四項

(2)證明:數列cn是等比數列

剖析:(1)(過程略)

數列cn前四項為:8，32，128，512

(2)因為數列cn為an與bn的公共項組成

所以可設cn=2m=3k+2(m，k∈N*)

∴k=2m-23=(3-1)m-23

=

C0m3m+C1m3m-1(-1)1+C2m3m-2(-1)2+Λ+Cmm(-1)m-23

因為k∈N*，∴Cmm(-1)m-2能被3整除

∴m為奇數，即數列cn為數列an中的奇數項。

所以數列cn也為等比數列且公比為4。

∴cn=8#8226;4n-1=22n+1

二、數列通項的拓展

數列是按照一定次序排列的一列數，而研究它們的規律性是解決數列問題的關鍵。

例2 已知數列an滿足a1=2，an+1=2(1+1n)2#8226;an(n∈N*)

求數列an的通項公式.

剖析:an+1an=2(n+1)2n2#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;(*)

∴an+1(n+1)2×cann2=2

∴ann2為等比數列且公比為2.

∴ann2=a112#8226;2n-1=2n

∴an=2n#8226;n2

注:對遞推公式要進行整體觀察，從整體上去觀察他們是否具備共同的規律，當然本題……