交匯處命題的一個生長點

1.問題提出

在知識交匯處命制高考題已成為熱點和方向，縱觀近幾年的高考，在解答題中有關數列的試題出現的頻率較高，不僅與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關.數列作為特殊的函數，在實際問題中也有著廣泛的應用這就要求同學們除熟練運用有關概念外，還要善于觀察題設的特征，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.

2.數列與其它知識的交匯

2.1與函數的交匯

例1已知定義在R上的函數 和數列 滿足條件： ，，

， ，其中 為常數， 為非零常數.

（I）令 ，證明 是等比數列；（II）求數列 的通項公式.

解：（I），故 是等比數列；

（II） ，=

評析：本題主要考查等比數列的定義和等比的求和公式，尤其要注意公比是否為1.

2.2與不等式的交匯

例2數列 滿足 且 .

（I）用數學歸納法證明：；

（II）已知不等式 對 成立，證明 （ ）其中 .

解：（I）略

（II） ，兩邊取對數并利用 得， .

于是 ，把上式從1到 求和可得：

. 故 .

評析：本題的難點在于放縮以及兩邊取對數再進行疊加.在數列與其他知識的聯系中以不等式最為緊密，而利用不等式的性質進行推算論證具有較大的靈活性，因而不易把握.

2.3與導數、解析幾何的交匯

例3設點 和拋物線 ，其中

， 由以下方法得到： ，點 在拋物線 上，點 到 的距離是 到 上的點的最短距離，…，點 在拋物線 上，點 到 的距離是 到 上的點的最短距離，證明 是等差數列.

解：設點 是 上任意一點，則

由題意得 ，即 =0.

又因為 ，故 ，

即 .

下面用數學歸納法證明

⑴當 時顯然成立；

⑵假設……