以圓為背景的平面向量的數量積問題探究

根據2009年高考江蘇卷數學科《考試說明》，平面向量的數量積為最高級（C級）要求，本文探討以圓為背景的平面向量數量積問題，以供大家參考．

1 靜態問題

1．1直接求解型

例1．在半徑為1的圓上按順序均勻分布著點A1，A2，A3，A4，A5，A6，則

．

解析：如圖1， ，

同理可得其余五項均為 ，故所求結果等于3．

點評：本題用平面向量的數量積定義直接求解，要注意向量的夾角（共起點后形成的角）問題．

1．2間接求解型

例2．如圖2， 是半圓 的直徑， 是弧 的三等分點， 是線段 的三等分點．若 ，則 的值是．

解析：連結 ，則

點評：用數量積定義直接求解不方便時，通常將其轉化成有長度、有夾角的向量，注意圓的幾何性質的運用．本題也可通過建立直角坐標系用坐標法求解．

2 動態問題

2．1 求范圍問題

例3．如圖3，半圓 的直徑 ，點 是半圓上異與 兩點的任意一點，若點 為半徑 上的動點，則 的范圍是．

解析：

又 ，由基本不等式得

故 （當且僅當點 為 的

中點時取等號成立）．

點評：利用圓心為 的中點，將 轉化為 ，應當知道求范圍問題通常通過構造不等關系來處理，注意基本不等式的運用．

2．2求值（運動定常）問題

例4．已知線段 是半徑為 的圓 的弦，且 ，試探究 是否為定值（與 的大小無關）？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由．

解析：可先從特殊情形下手，當弦 為直徑時，

有 ；當 為正三角形時，有 ，

故猜想 為定值 ，證明如下：

如圖4，過點 作 交 于點 ，則

．

點評：運動定常問題通常可先從特殊值或特殊位置入手，進而討論一般情形，

注意向量的投影在圓中的運用……