參數(shù)分離——恒成立問題解決的捷徑

恒成立問題，特別是含參數(shù)不等式的恒成立問題，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用. 因此也成為近幾年高考和競賽的一個熱點. 參數(shù)分離這種方法也脫穎而出，成為解決高考和競賽題的巧妙方法.

1．二元條件不等式恒成立問題

例1（2008#8226;江蘇卷）函數(shù) 對于 總有 成立，則 = ▲ .

分析：上面的問題其實是個二元條件不等式恒成立問題，兩個字母 和 ，其中 是自變量， 就是我們所說的參數(shù)，現(xiàn)在要求的參數(shù) 的范圍，分步說明.

解：第一步： 等價變形為 .

第二步： 等價變形為 .

第三步： 等價變形為

第四步：對第三步的不等式組進行求解

對(1)恒成立，左邊只有一個參數(shù) ，而右邊是一個關(guān)于 的解析式 ，當(dāng) 變化時，右邊本質(zhì)上是一個值域，求解得值域為 ，這樣 要想恒成立，則 要比值域 的最小值還要小（或等于）即 .同理對(2)解得，對(3) 解得所以第三步的不等式的解為即 .

說明：利用參數(shù)分離來解決這個問題顯得步驟比較清晰，而且對于基礎(chǔ)比較一般的同學(xué)來講也很具有操作性，其中的第三步是這個題目的核心，在把 進行分離前要對 進行分類討論，這也是對不等式進行等價變形時所要求的.

二元條件不等式恒成立參數(shù)分離的本質(zhì)：若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，即變形為或 ，則可將恒成立問題……