一道高考試題的延伸

2008年全國高考安徽省理科卷第22題:

設橢圓 過點 ， 且左焦點為 .

(1)求橢圓C的方程;

(2)當過點 的動直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B時， 在線段AB上取點Q， 滿足 . 證明: 點Q總在某定直線上.

不難可求得橢圓C的方程是 . 在(2)中， 由條件可得點Q總在定直線 上. (2)的結論能推廣到一般情形嗎? 對雙曲線、圓、拋物線也有類似的結論嗎?

【探究1】設橢圓 ， 過一定點 作直線l交橢圓C于A、B兩點， 在直線AB上取點Q， 使P、Q在點A異側， 在點B同側， 且 ，則點Q在定直線上嗎?

【解析】設點Q、A、B的坐標分別是 .

由題設知 均不為 ， 記 ， 則 且 .

又A、B、P、Q四點共線， 不妨設點Q在線段AB上， 從而 .

于是

從而 變形為

① ，②.

又點A、B在橢圓C上，， ③，，④.

①+②并結合③④得 ， 即點Q在定直線 上.

【探究2】設雙曲線 ， 過一定點 作直線l交雙曲線C于A、B兩點， 在直線AB上取點Q， 使P、Q在點A異側， 在點B同側， 且 ，則點Q在定直線上嗎?

【解析】設點 的坐標分別是 ，由題設知 均不為 ，記 ，則 且 .又 四點共線，不妨設點 在線段 上，從而 .于是

從而 變形為 ① ②又點 在雙曲線 上，，③ ，④ ①-②并結合③④得 ，即點 在定直線 上.

探究3:設圓 ，過一定點 作直線 交圓 于 兩點，在直線 上取點 ，使 在點 異側，在點 同側，且 ，則點 在定直線上嗎?

解:設點 的坐標分別是 ，由題設知 均不為 ，記 ，則 且 .又 四點共線，不妨設點 在線段 上，從而 .于是

從而 變形為 ① ②又點 在圓 上，，③ ，④ ①+②并結合③④得 ，即點 在定直線 上.

結論:設二次曲線 ，且 不都是負數)過一定點 作直線 交曲線 于 兩點，在直線 上取點 ，使 在點 異側，在點 同側，且 ，則點 在定直線上 上.