利用導數解題你注意了嗎

把導數的相關知識引入中學數學是高中課程改革的一個亮點，它使得高中階段研究函數的性質變得更加方便和簡單，尤其在討論函數的單調性、最值方面更有突出的優勢．但是如果在利用導數時不注意分析和思考，可能會走入計算的誤區，筆者結合學生在解題中出現的一些問題談自己一些看法，希望能夠與同行交流，同時也希望對高三即將參加高考的學生提個醒.

1. 合理構造函數是首要條件

利用導數知識來解決有關問題時，首先要善于從函數、方程、不等式等不同角度、用文字符號等不同語言來敘述問題，合理構造函數，這樣才能夠起到事半功倍的作用，而構造函數的之前可能要將式子進行變形，主要思路有分離變量、換元等.

例1設函數 ， ， 試比較 和 的大小.

分析若設 后，進一步對 求導后發現 不容易求根，也就無法判斷原函數的性質，解題也被中止了. 注意到 ，而 是一個非負數，所以只要比較 與0的大小即可.

解因為 ，所以當 時， = ；

當 時，只要比較 與0的大小就可以了，設 ，所以 ，

①當 時，，所以 單調遞減；

②當 時，，所以 單調遞增，即 的最小值為 .

綜上 .

例2已知函數 ，記 ，若函數 至少有一個零點，則實數m的取值范圍是.

分析 本題若直接對函數 求導則同樣面臨著與上題一樣的困境，不容易判斷 的符號，為此我們可以構造兩個基本的函數，分別來研究它們的性質，達到化簡的目的.

解因為 至少有一個非負零點，即方程 至少有一個正解，構造函數 和函數 ，即……