數(shù)列中常見的數(shù)學(xué)思想

在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)注意領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，那么將有助理解、提高數(shù)學(xué)解題. 下面，談?wù)剶?shù)列中常見的數(shù)學(xué)思想，供同學(xué)們參閱.

一、基本量思想

例1.⑴若等差數(shù)列 中，，求 ；

⑵等差數(shù)列 中，求 的值.

解：⑴由題意，得解得

所以

⑵由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，成等差數(shù)列，

該等差數(shù)列的公差 ，

所以 .

評(píng)注：等差（比）數(shù)列由首項(xiàng) 和公差 （公比 ）確定，故在解決有關(guān)等差（比）數(shù)列的問題時(shí)，可緊扣基本量 和 （ ）進(jìn)行.

二、分類思想

例2．⑴已知數(shù)列 的前n項(xiàng)的和 ，求通項(xiàng) ；

⑵求 … .

解：⑴當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng) 時(shí)， ，

而 適合上式，故通項(xiàng) .

⑵由 … ，①

… ， ②

①-②，得 ….

當(dāng) 時(shí)， ，

當(dāng) 時(shí)， … .

評(píng)注：已知 求 時(shí)，運(yùn)用 需對(duì) 分類；運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，需對(duì) 分類，即當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， .

三、轉(zhuǎn)化思想

例3．已知數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為 ，且，求 及 .

解法一：（化和為項(xiàng)）

由 ， ①

， ②

所以當(dāng) 時(shí)，由①-②得

所以 即

而 ，

所以 是從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，且 .

而 適合上式，故通項(xiàng) ， .

解法二：（化項(xiàng)為和）

因?yàn)?，

所以 ，即 .

令 ，則 ，

所以 ，而

所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列， ，

所以 ，然后易求通項(xiàng) .

例4．已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，且滿足

求 的表達(dá)式.

解：當(dāng) 時(shí)，

所以 ，即

所以 ，而

所以數(shù)列 是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

所以 ，即 ，

然后易求通項(xiàng)

評(píng)注：1.已知數(shù)列的通項(xiàng) 與前n項(xiàng)和為 的關(guān)系，通?？苫昂汀睘椤绊?xiàng)”，也可化“項(xiàng)”為“和”；

2.例4運(yùn)用化項(xiàng)為和方便，但要借助構(gòu)造等差數(shù)列 以求 的表達(dá)式，再間接求 的表達(dá)式.

四、函數(shù)思想

例5．⑴設(shè) 是等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和，若 ，求 的值；

⑵數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，若 為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a= .

解：⑴因?yàn)?是等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和，所以設(shè) ，

因?yàn)?，所以 ，解得

所以 .

⑵ .

評(píng)注：數(shù)列是特殊的函數(shù)，對(duì)等差數(shù)列而言，通項(xiàng)可設(shè) ，前n項(xiàng)和可設(shè) ；……