矩陣最高階非零子式的求法

摘要矩陣是線性代數(shù)的主要組成部分，矩陣的秩是矩陣的內(nèi)在特性，而矩陣的最高階非零子式的階數(shù)就是矩陣的秩。本文主要介紹矩陣的最高階非零子式的求法。

關(guān)鍵詞矩陣行階梯形矩陣子式

中圖分類號(hào):O13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

1 常見題型的解題方法

設(shè)矩陣，求A的秩R(A)，并求A的一個(gè)最高階非零子式。

解題方法:將矩陣用初等行變換，化成行階梯形矩陣，過程如下:

所以，矩陣A的秩R(A)=3;A的最高階非零子式是3階子式。但是，此例中矩陣A的三階子式一共有C43C53=40個(gè)，如逐個(gè)驗(yàn)證是非常麻煩的。

為了省去逐個(gè)驗(yàn)證的過程，接下來(lái)可采用如下步驟:(1)在行階梯形矩陣B中找到非零行以及非零行的非零首元所在的列;(2)回到原矩陣A中，找出A中對(duì)應(yīng)的行和列;(3)用A中這些行和列交叉位置的元素構(gòu)成行列式，即為所求最高階非零子式。

具體到此題，行階梯形矩陣B的非零行位于1，2，3行，非零行的非零首元位于1，2，4列，則在A中，選擇由A的1，2，3行和1，2，4列交叉位置的9個(gè)元素，構(gòu)成3階行列式，即為所求的A的一個(gè)最高階非零子式。

該方法適用于大部分此類題型的題目，能夠快速的求解出答案。但是該方法也存在局限性，對(duì)于有些題目就會(huì)失效了。下面對(duì)該方法做一些改進(jìn)，來(lái)應(yīng)對(duì)使一中方法失效的題目。

2 方法的局限性和改進(jìn)

例如，設(shè)矩陣，利用初等行變換，將矩陣A化成的行階梯形矩陣B跟前例完全一樣，接下來(lái)按照一中的方法，得到矩陣A的一個(gè)三階子式，經(jīng)計(jì)算得到它的值等于0，則它就不是A的3階非零子式。

如果遇到這種情況，接下來(lái)可以采用如下步驟:(1)找出行階梯形矩陣B的非零行的非零首元所在的列位于哪幾列;(2)在原矩陣A中，找出對(duì)應(yīng)的那幾列構(gòu)成一個(gè)矩陣C，這樣可以縮小尋找子式的范圍;(3)找出矩陣C中的最高階非零子式，該子式即是原矩陣A的最高階非零子式。

具體到此例，行階梯形矩陣B的非零行的非零首元位于1，2，4列，回到原矩陣A中，找出A的1，2，4列，構(gòu)成矩陣，矩陣C的3階子式只有C43C33=4個(gè)，這樣，在C中尋找3階子式較之在原矩陣A中尋找3階子式就要簡(jiǎn)單得多了。取矩陣C的1，3，4行和1，2，3列交叉位置的9個(gè)元素，構(gòu)成一個(gè)3階行列式，即求得了原矩陣A的一個(gè)最高階非零子式。

3 小結(jié)

求矩陣的最高階非零子式，如果逐階驗(yàn)證非常麻煩。最方便的求解方法是，先利用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣，確定出矩陣的秩，即確定了最高階非零子式的階數(shù);然后按照一中的方法求解，可以解決大部分求矩陣最高階非零子式的問題，該方法簡(jiǎn)單直觀方便;即使遇到不適用的題目，也可選用二中的方法求解出來(lái)。